Fisimat | Blog de Física y Matemáticas

Seguimos redactando artículos y ejercicios sobre los temas de hidráulica, en el área de Física, y en esta ocasión tenemos la oportunidad de redactar sobre la ecuación de continuidad y ver la gran importancia que tiene ésta ecuación, e incluso hacemos uso de ella sin tenerlo en cuenta. Pero bueno, vamos a comenzar detallando que la ecuación de continuidad de los fluidos está expresada matemáticamente de la siguiente manera:

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

De la fórmula podemos deducir que A es área y v es velocidad. Más adelante lo explicaremos mejor, por ahora veamos la siguiente imagen, para aclarar mejor nuestro panorama sobre éste tema.

Bien, si observas la imagen te darás cuenta que en nuestra ecuación de continuidad, estamos haciendo referencia al producto del área y la rapidez del fluido. Esto suele ser constante para un fluido incompresible. Y también nos damos cuenta que la rapidez es alta donde el tubo es estrecho, y baja donde el tubo es ancho, por lo que el gasto permanece constante en ambos lados del tubo.

Una aplicación muy sencilla del fenómeno de la continuidad se puede observar al momento que alguien riega un poco de agua a través de una manguera, ya que allí se puede apreciar como al momento de presionar la salida de la manguera (o sea se reduce el caudal por donde sale el agua), vemos como el chorro de agua sale más disparada, aquí es donde comprobamos dicho concepto. Bien, ahora es momento de poner en práctica la teoría.

Ejercicios Resueltos de Continuidad

Como es costumbre, no podemos dar por completo un tema sino tenemos los ejercicios necesarios para darlo por hecho.

Ejemplo 1.- Por una tubería de 3.9 cm de diámetro circula agua a una velocidad cuya magnitud es de 4.5 m/s. En la parte final de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.25 cm. ¿qué magnitud de velocidad llevará el agua en este punto?

Solución: Lo primero será recaudar nuestros datos implícitos en el problema.

$\displaystyle {{d}_{1}}=3.9cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.039m$

$\displaystyle {{v}_{1}}=4.5\frac{m}{s}$

$\displaystyle {{d}_{2}}=2.25cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.0225m$

$\displaystyle {{v}_{2}}=?$

Bien, si nos damos cuenta no tenemos el área, pero si tenemos los diámetros de la tubería, lo que nos facilita poder obtener las áreas. Así que procedemos a calcularlas.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{d}_{1}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.039m)}^{2}}}{4}=1.19x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}$

Luego con la otra:

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{d}_{2}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.0225m)}^{2}}}{4}=0.398x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}$

Con lo que establecemos, la ecuación de continuidad y despejamos nuestra incógnita.

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

Despejando:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Sustituyendo datos:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{(1.19x{{10}^{-3}}{{m}^{2}})(4.5\frac{m}{s})}{0.398x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}}=13.5\frac{m}{s}$

Por lo que la velocidad del agua en la salida, será de 13.5 m/s

Ejemplo 2.- Por una manguera de bomberos de 0.25 metros de diámetro sale a presión agua que fluye a una velocidad de 10.5 m/s, si la manguera se achica en su boquilla de salida a 0.1 metros de diámetro ¿con qué velocidad saldrá el chorro?

Solución: Nuevamente recolectamos los datos del problema.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{d}_{1}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.25m)}^{2}}}{4}=0.0491{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{d}_{2}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.1m)}^{2}}}{4}=7.85x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{v}_{1}}=10.5\frac{m}{s}$

$\displaystyle {{v}_{2}}=?$

Con eso nos damos cuenta, que variable despejar y como sustituir nuestros datos:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{(0.0491{{m}^{2}})(10.5\frac{m}{s})}{7.85x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}}=65.68\frac{m}{s}$

Lo que podemos observar que es una rapidez increíble.

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En Fisimat hemos pensado mucho para crear el título de éste artículo, ya que existen diversas variantes de nombre dependiendo el autor o investigador. Podemos encontrar éste tema con el nombre del Principio de Bernoulli también cómo el Teorema de Bernoulli y en otras fuentes de varios autores que han realizado libros importantes de Física , lo han nombrado también como la Ecuación de Bernoulli , pero aclaramos ante todos, que estos nombres relacionan exactamente a lo mismo. No se confundan si en algún momento mencionamos un nombre y luego otro. Esto es con la finalidad de familiarizarse con las definiciones y que no nos tomen en curva nuestros conocimientos

Bien ahora es momento de comenzar y vamos a partir de la teoría que necesitamos conocer, porque sin esa teoría no comprenderemos en absoluto la solución de los ejercicios o ejemplos aquí propuestos para su desarrollo. Hasta ahora hemos hablado de los parámetros de presión, densidad, y velocidad. Pero hace falta mencionar a la altura que simbolizaremos con una letra “h”, en algunos libros de mecánica de fluidos lo hacen con una “z”, bien a la altura se le toma dependiendo de algún nivel de referencia. Pues bien, el primero en relacionar éstas cantidades fue el gran matemático suizo Daniel Bernoulli (1700 – 1782).

Aquí una pequeña Biografía de el Daniel Bernoulli.

Daniel Bernoulli nació en Suiza y realizó grandes contribuciones en la dinámica de fluidos, publicó su obra más famosa en 1738 titulada “Hidrodinámica“, donde advertía sobre el estudio teórico y práctico del equilibrio, la presión y la rapidez en los fluidos. De allí deduce el “Principio de Bernoulli” un concepto que expresa que a medida que aumenta la rapidez de un fluido , su presión disminuye. Con esto la ley de la conservación de la energía se cumple cuando los líquidos están en movimiento, de allí deduce el siguiente enunciado:

En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de aquellas energías como la cinética, potencial y de presión (o energía de flujo) que posee cierto líquido en un punto, es igual a la suma de éstas energías en otro punto cualquiera.

Esto daba un cambio rotundo al conocimiento que se tenía de los fluidos en ese tiempo, ya que a pesar que se dedujo solo para fluidos, en los gases es aplicable también.

Deducción de la ecuación de Bernoulli

Para deducir la ecuación de lo que proponía Bernoulli en su libro, es necesario considerar la siguiente imagen.

Como se basa en la ley de la conservación de la energía, entonces deducimos los siguientes tres tipos:

1.- Energía cinética: Debido a la velocidad y a la masa del líquido. Denotada por la siguiente fórmula:

$\displaystyle {{E}_{c}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$

2.- Energía potencial: Debido a la altura del líquido, respecto a cualquier punto de referencia, y dada por la siguiente fórmula:

$\displaystyle {{E}_{p}}=mgh$

3.- Energía de flujo o de Presión: Originada por la presión que las moléculas del fluido que actúan entre si, por lo que el trabajo realizado para el desplazamiento de éstas moléculas es igual a la energía ante mencionada.

$\displaystyle {{E}_{flujo}}=P\frac{m}{\rho }$

Hay una deducción matemática que parte del trabajo neto realizado por las moléculas, pero no la explicaremos por ahora, de ser necesaria la incluiremos en los comentarios.

Así, de acuerdo con el teorema de Bernoulli , la suma de las energías de un punto inicial, deberá ser igual a las energías obtenidas en la salida. Entonces matemáticamente tenemos lo siguiente:

$\displaystyle E{{c}_{1}}+E{{p}_{1}}+{{E}_{presion1}}=E{{c}_{2}}+E{{p}_{2}}+{{E}_{presion2}}$

Al sustituir las energías, tenemos que:

$\displaystyle \frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+mg{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}m}{{{\rho }_{1}}}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+mg{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}m}{{{\rho }_{2}}}$

Vamos a dividir la ecuación por la masa, ya que es una variable que se repite en todas las expresiones.

$\displaystyle \frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Qué vendría a ser la ecuación de Bernoulli, y esta ecuación es aplicable en todos los aspectos de flujo de fluidos, solo que debemos tener en cuenta que la presión P debe tomarse como la presión absoluta y no la presión manométrica, todas las unidades finalmente son en presión.

Es importante observar que se desprecian las pérdidas de energía causadas por la viscosidad de todo líquido que está en movimiento. Es quizá una de las consideraciones que el Teorema de Bernoulli no toma en cuenta.

Restricciones de la Ecuación de Bernoulli

Aunque la ecuación de Bernoulli se aplica a muchos problemas prácticos, o ejemplos hay ciertas limitaciones que se deben de considerar, a fin de aplicarse con la propiedad adecuada.

1.- Es válida solamente para fluidos incompresibles, ya que el peso específico del fluido permanece constante en la secció inicial y final.
2.- No puede haber sistemas mecánicos que agregen o retiren energía del sistema entre la sección inicial y final , ya que la energía del sistema permanece constante.
3.- Al igual que el punto dos, no puede haber transferencia de calor facia el fluido o fuera de éste.
4.- No debe considerarse la pérdida de energía debido a la fricción.

Aunque realmente ningún sistema existente satisface las restricciones, hay muchos sistemas que necesitan de la ecuación de Bernoulli, ya que los errores generados son mínimos.

Ejercicios Resueltos del Principio de Bernoulli

Problema 1: Un flujo de agua va de la sección 1 a la seccion 2. La sección 1 tiene 22 mm de diámetro, la presión manométrica es de 345 kPa, y la velocidad de flujo es de 3 m/s. La sección 2, mide 50 mm de diámetro, y se encuentra a 2 metros por arriba de la sección 1. Si suponemos que no hay pérdida de energía en el sistema. Calcule la presión “P2”

Solución: Tenemos que analizar nuestros datos, es decir, que es lo qué si tenemos y lo que nos hace falta por encontrar, así también realizar el despeje de la variable que vamos a calcular. Entonces procedemos:

Datos:

d1 = 22 mm

d2 = 50 mm

p1 =345 Kpa

v1 = 3 m/s

d2 = 50 mm

p2 =?

Si leemos bien el problema, nos daremos cuenta que tenemos la altura, ya que si hacemos h2 – h1 = 2 metros. Por lo que nos ahorramos algo de cálculo. Finalmente procedemos a despejar a p2 de la fórmula que ya tenemos:

$\displaystyle \frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Despejando y para hacer más fácil el proceso, recordemos que la densidad del agua no tendrá ninguna variación tanto al inicio como al final, entonces podemos decir que la densidad será constante, y la podemos omitir para el cálculo.

$\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{1}}-g{{h}_{2}}+{{p}_{1}}$

Sin embargo nos hace falta v2, ya que no la tenemos, pero si tenemos el dato de los diámetros, entonces si recordamos bien; podemos hacer uso de la ecuación de continuidad qué es una ecuación que deriva del gasto .

Así que:

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

Despejando a “v2”

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Calculando ahora las áreas 1 y 2.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{d}_{1}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(25mm)}^{2}}}{4}=491m{{m}^{2}}$

La otra área

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{d}_{2}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(50mm)}^{2}}}{4}=1963m{{m}^{2}}$

Ahora de la ecuación de continuidad tenemos que:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{\left( 491m{{m}^{2}} \right)\left( 3\frac{m}{s} \right)}{1963m{{m}^{2}}}=0.75\frac{m}{s}$

Ahora si podemos utilizar nuestra fórmula despejada de la presión en 2.

$\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{1}}-g{{h}_{2}}+{{p}_{1}}$

Factorizamos un poco…

$\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}\left( {{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2} \right)+g\left( {{h}_{1}}-{{h}_{2}} \right)+{{p}_{1}}$

Sustituimos todos nuestros datos

$\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}\left( {{(3)}^{2}}-{{(0.75)}^{2}} \right)+(9.81)\left( 0-2 \right)+345kPa$

Por lo que el resultado nos da:

$\displaystyle {{p}_{2}}=329.6kPa$

Qué sería la presión en la sección 2, recordemos que ésta información es cierta. Ya que la presión debió aumentar.

Aplicación de la Ecuación de Bernoulli

Existen dos grandes aplicaciones del principio de Bernoulli, entre ellas está el Principio o Teorema de Torricelli y el tubo de Venturi. Por ahora daremos una breve reseña ya que si quieres aprender a resolver ejercicios de ambos temas, tendrás que ir al artículo de cada estudio.

Teorema de Torricelli

Es una de las aplicaciones del teorema de Bernoulli, que se tiene cuando se desea encontrar la magnitud de velocidad de salida que tiene un líquido a través de algún orificio de cualquier recipiente.

Tubo de Venturi

El tubo de Venturi se emplea para calcular la velocida de un líquido que circula a presión dentro de una tubería. Su funcionamiento está fundamentado en el teorema de Bernoulli.

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¿Qué tal lectores? después de haber aprendido las bases del principio de Bernoulli , es momento de conocer varios instrumentos, aplicaciones físicas, y temas derivados de dicho aporte en la hidrodinámica de la Física, y hoy hablaremos sobre el tubo de Venturi o también conocido como medidor de Venturi, pues bien el tubo de Venturi es un instrumento que se usa para medir la rapidez que posee un flujo de un fluido incompresible en alguna tubería. Normalmente a la parte más angosta del tubo se le conoce como garganta.

Éste efecto Venturi posee muchas aplicaciones que son destinadas tanto para líquidos como para gases. Por citar un ejemplo; en el carburador de un automóvil se utiliza dicho principio en el que se mezcla tanto vapor de gasolina y aire. ¿cómo se aplica?; pues bien, cuando el aire pasa a través de un espacio muy angosto hacía los cilindros, éste origina un área de presión baja a razón de que la velocidad aumenta. Con esto la presión disminuye y evita que el combustible llegue a la columna de aire, donde finalmente se vaporiza rápidamente. Recordemos que en principio debemos entender que la presión disminuye conforme la velocidad aumenta.

Bien, ¿todo correcto hasta aquí? , esperemos que si. Ahora es momento de ver el Tubo de Venturi.

Si analizamos la imagen vamos a poder observar varios conceptos, entre ellos las variables de presión, velocidad y área. Nos damos cuenta que mientras hay un estrechamiento del área en el punto dos, la presión disminuye y la velocidad aumenta. Pero también analizamos que el tubo posee una posición horizontal, esto hace que la altura de alguna u otra forma sea despreciable para nuestros próximos cálculos.

Fórmula del Tubo de Venturi

Bien, vamos a encontrar la ecuación para el Tubo de Venturi, a partir de los conocimientos básicos de la Principio de Bernoulli para ello vamos a escribir la ecuación de Bernoulli.

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Como dijimos anteriormente, en el tubo horizontal de Venturi las alturas son exactamente las mismas, por lo cual en nuestra nueva ecuación, la vamos a ignorar. Por lo que la gravedad por la altura en ambos lados las quitamos, quedando así.

$\displaystyle {{\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Agrupando los términos:

$\displaystyle \frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}-\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}$

Para no seguir escribiendo al 2 en el denominador del segundo miembro, vamos a multiplicar ambos miembros por dos.

$\displaystyle 2\left( \frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}-\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}} \right)=2\left( \frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2} \right)$

Recordemos que la densidad será de un líquido, y no intervendrán más de uno, entonces podemos decir que:

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}$ –> Ecuación (1)

Bien, por aquí todo sin problemas. Ahora es momento de utilizar nuestra ecuación del Gasto, ¿no sabes qué es el gasto? en nuestro blog ya hablamos del gasto, y también haremos uso de la ecuación de continuidad. Así que tomando datos de ambos conceptos.

El gasto en la parte más ancha del tubo debe ser igual al más estrecho:

$\displaystyle {{G}_{1}}={{G}_{2}}$

O sea que:

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

Vamos a despejar a V2, suponiendo que lo que queremos calcular es la velocidad inicial del fluido.

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Vamos a sustituir ello en la Ecuación 1, quedando así:

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{\left( \frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}-{{v}_{1}}^{2}$

Factorizando a v1

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{v}_{1}}^{2}\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)$

Despejando a v1

$\displaystyle {{v}_{1}}^{2}=\frac{\frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}$

Sacando raíz cuadrada en ambos miembros, tenemos que:

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{\frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}}$

Muchos libros, consideran hasta este punto la fórmula para el tubo de Venturi , sin embargo vamos a reducir más la fórmula.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}}$

Vamos a resolver la resta de fracciones que tenemos en el denominador con las áreas, de ahí sacaremos al denominador común.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\frac{\rho }{{{A}_{2}}^{2}}\left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Aplicando la ley de la torta, vamos a tener lo siguiente.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2{{A}_{2}}^{2}\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Por la propiedad de los radicales, sino sabes como resolver radicales aquí lo explicamos.

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Qué vendría a ser nuestra fórmula

Ahora es momento de practicar.

Ejercicios Resueltos del Tubo de Venturi

Problema 1.– Un tubo de venturi en su parte más ancha posee un diámetro de 0.1524 m y una presión de 4.2 x10^4 N/m^2 . En el estrechamiento , el diámetro es de 0.0762 m y la presión es de 3×10^4 N/m^2 . ¿Cuál es la magnitud de la velocidad inicial del agua que fluye a través de la tubería?

Solución: Analicemos primeramente nuestros datos:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{d}_{1}}=0.1524m\\{{d}_{2}}=0.0762m\\{{p}_{1}}=4.2x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{p}_{2}}=3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\end{array}$

Esta es la fórmula que usaremos:

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Para no confundirnos, es mejor resolver primero lo que tenemos en el numerador dentro de la raíz, y después lo del denominador, es decir:

$\displaystyle 2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)=2\left( 4.2x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}-3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}} \right)=24000\frac{N}{{{m}^{2}}}$

Después el denominador, no sin antes calcular las áreas por separado.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{(0.1524m)}^{2}}}{4}=0.01824{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{(0.0762m)}^{2}}}{4}=0.00456{{m}^{2}}$

Ahora si calculamos el denominador:

$\displaystyle \rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\left( {{\left( 0.01824{{m}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 0.00456{{m}^{2}} \right)}^{2}} \right)=0.3119kgm$

Entonces sustituyendo nuestros datos:

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}=0.00456{{m}^{2}}\sqrt{\frac{24000\frac{N}{{{m}^{2}}}}{0.3119kgm}}=1.265\frac{m}{s}$

Qué sería nuestra velocidad inicial.

Problema 2.- En la parte más ancha de un tubo de Venturi hay un diámetro de 10.16 cm y una presión de 3×10^4 N/m^2 . En el estrechamiento del tubo, el diámetro mide 5.08 cm y tiene una presión de 1.9×10^4 N/m^2.

a) Calcule la velocidad inicial del agua que fluye a través de la tubería.

b) ¿Cuál es el gasto?

c) ¿Cuál es el flujo?

Solución: Nuevamente tenemos un problema con las características iniciales del problema 1, por lo que lo más recomendable es recopilar nuestros datos, así que colocamos:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{d}_{1}}=10.16cm\\{{d}_{2}}=5.08cm\\{{p}_{1}}=3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{p}_{2}}=1.9x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}\\{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\end{array}$

Posteriormente, vamos a convertir los diametros a área, lógicamente tenemos que usar la unidad de longitud en metros, y no en centímetros, esto es muy importante.

$\displaystyle {{d}_{1}}=10.16cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.1016m$

$\displaystyle {{d}_{2}}=5.08cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.0508m$

Ahora calculemos las áreas.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{(0.1016m)}^{2}}}{4}=0.0081{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{(0.0508m)}^{2}}}{4}=0.0020{{m}^{2}}$

Ahora nuevamente como el ejercicio anterior, calculemos por separado lo del numerador y denominador que están dentro de la raíz cuadrada.

$\displaystyle 2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)=2\left( 3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}-1.9x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}} \right)=22000\frac{N}{{{m}^{2}}}$

Ahora el denominador

$\displaystyle \rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\left( {{\left( 0.0081{{m}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 0.0020{{m}^{2}} \right)}^{2}} \right)=0.06161kgm$

Es momento de calcular nuestra velocidad inicial.

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}=0.0020{{m}^{2}}\sqrt{\frac{22000\frac{N}{{{m}^{2}}}}{0.06161kgm}}=1.195\approx 1.2\frac{m}{s}$

Qué sería nuestra velocidad inicial, que es lo que nos pide el problema.

Con esto podemos afirmar que el Tubo de Venturi, es una gran aplicación más del Principio de Bernoulli, espero que hayas entendido los ejercicios aquí propuestos, si tienes dudas, favor de dejarlas en la caja de comentarios aquí abajo.

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Eyy!! ¿Cómo están lectores?, seguimos en nuestro labor de publicar artículos para ustedes y lógicamente anexar ejercicios resueltos para mejorar el entendimiento de cada tema, pues bien en esta ocasión hablaremos de otra de las grandes aplicaciones que se derivan del principio de bernoulli , y que en Física es importante conocer, pues muchos experimentos básicos parten de este principio. El gran Teorema de Torricelli o también llamado como el Principio de Torricelli

Evangelista Torricelli nació en Faenza, Italia por el año 1608. Fue un físico y matemático muy reconocido en esa época, es acreedor del descubrimiento del barómetro de mercurio, y que en honor a su nombre existe una unidad de presión llamada “torr”equivalente a un milimetro de mercurio (mm de Hg).

Pues bien, el Teorema de Torricelli es un fenómeno que ocurre a la salida de un liquido por un orificio que posee algún recipiente que lo contiene. La superficie de la sección horizontal del recipiente suele ser bastante grande, en relación con la del agujero, para que pueda despreciarse la velocidad a la que desciende la superficie libre del líquido. En esas condiciones puede demostrarse fácilmente que, a la salida del orificio, el líquido adquiere una velocidad que es precisamente la misma que si cayese en efecto de la gravedad, o sea libremente desde el nivel de la superficie libre al nivel del agujero. Pero bueno, esto puede ser confuso, lo veamos gráficamente.

Imaginemos que deseamos encontrar la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio en un recipiente. Para ello, tenemos que recurrir a la fórmula conocida de Bernoulli.

Deducción de la fórmula de Torricelli

De la imagen anterior podemos observar a la presión, a la altura, al área y la velocidad, entonces de nuestra fórmula de Bernoulli tenemos que:

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Vamos a proceder a suprimir a la energía cinética del punto 2, puesto que la velocidad del líquido en el punto 2 es despreciable si la comparamos con la magnitud de velocidad de salida en el punto 1. Así que;

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Como en el punto 1 se encuentre en el fondo del recipiente, a una altura cero sobre la superficie, entonces podemos eliminar el término o sea que la energía potencial en el punto 1, no debemos considerarla.

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Como la energía de presión es provocada por la presión atmosférica y ésta es la misma en los dos puntos, entonces decimos que:

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}=g{{h}_{2}}$

Despejando a la velocidad, tenemos que:

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{2g{{h}_{2}}}$

Generalizando esto es:

$\displaystyle v=\sqrt{2gh}$

Dónde:

v = Velocidad del líquido que sale por el orificio (m/s)

g = Magnitud de la aceleración de la gravedad (9.8 m/s^2)

h = profundidad a la que se encuentra el orificio de salida (m)

Ejercicios Resueltos del Teorema de Torricelli

Ejemplo 1.- ¿Con qué velocidad sale un líquido por un orificio que se encuentra a una profundidad de 1.4 m?

Solución: Analizando el problema y considerando nuestros datos, tenemos que:

v = ?

h = 1.4 m

g = 9.8 m/s^2

Aplicando la fórmula:

$\displaystyle v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})(1.4m)}=\sqrt{27.44}=5.24\frac{m}{s}$

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 2.- Determine a qué altura se debe abrir un orificio de un estanque, para que el líquido salga con una velocidad de 9 m/s.

Solución: Bien, para poder resolver este ejemplo, simplemente tenemos que despejar a la variable “h” de nuestra fórmula:

$\displaystyle h=\frac{{{v}^{2}}}{2g}$

Sustituyendo nuestros datos que son:

v = 9 m/s

g = 9.8 m/s^2

$\displaystyle h=\frac{{{v}^{2}}}{2g}=\frac{{{(9\frac{m}{s})}^{2}}}{2(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})}=4.13m$

Que vendría a ser nuestro resultado.

Con estos ejercicios hemos demostrado que la Ley de Torricelli no es difícil en absoluto, simplemente tenemos que aplicar nuestra fórmula. Pero, hay cosas más interesantes todavía, por ejemplo la velocidad de descarga aumenta con la profundidad. Aunque el alcance máximo se logra cuando el orificio se encuentra a la mitad del nivel del agua.

Espero que te haya servido estos ejercicios, si tienes dudas al respecto, favor de dejarlo en la caja de comentarios puestas aquí abajo!!

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¡¡Buen día lectores!!, hace algún tiempo publicamos sobre el tema de la gravitación universal y resolvimos ejercicios que hicieron que comprendiéramos mucho mejor el tema de la atracción gravitatoria entre los planetas, pues bien hasta ahí todo bien. Pero para profundizar mejor el tema, tenemos que retroceder un poco al tiempo, es decir, mucho más antes de la aparición de las leyes de Newton, y nos remontemos al estudio de los planetas y sus movimientos, para conocer a fondo las Leyes de Kepler. Así que toma asiento, y prepárate para entender la breve historia y a resolver ejercicios.

Empecemos hablando del astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) , Kepler fue un grandioso y brillante astrónomo alemán, que aprendió de las enseñanzas tanto de Nicolás Copérnico como de Tycho Brahe, tanto que le causó demasiado interés en conocer como se movían los planetas alrededor del Sol, y que después de una tediosa investigación pudo confirmar que los plantes no se movían en forma circular, sino que se movían describiendo órbitas elípticas. Las cuales le permitió establecer varios enunciados matemáticos, relacionados con el sistema solar, y así poder formular tres leyes sobre el movimiento de los planetas, conocidos como las leyes de Kepler.

No obstante, miles de años atrás ya había mucho estudio referente al movimiento de los planetas y las estrellas. Por ejemplo en el siglo II d.C, el griego Claudio Ptolomeo había postulado la teoría de que la tierra era el centro del universo, esto paso a ser el famoso modelo geocéntrico, tiempo después a mediados del siglo XIV y comienzos del siglo XV el astrónomo Nicolás Copérnico fue capaz de demostrar que los planetas incluida la tierra en realidad se movían en órbitas circulares al rededor del Sol. Aunque ésto carecía de precisión tuvo que llegar el astrónomo danés Tycho Brahe donde perfeccionó las mediciones sobre el movimiento de los planetas. Pues para ese entonces el telescopio no se había descubierto.

Las Leyes de Kepler se publicaron en el año 1609, curiosamente ese mismo año el físico Galileo Galilei construyó su primer telescopio.

Bien, pasemos a conocer las Leyes de Kepler.

Primera Ley de Kepler

La primera ley de Kepler o también llamada como la ley de órbitas, señala lo siguiente: Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los puntos focales. Veamos la siguiente imagen que describe el primer enunciado.

El punto de la órbita más cercano al Sol se le conoce como perihelio y el punto más lejano se le llama afelio, las elipses poseen una forma ovalada o de círculo aplanado, el ancho de ese círculo achatado se le conoce como “excentricidad”, la parte que está sobre el eje “x” se le llama eje mayor, y del eje “y” se le conoce como eje menor.

Segunda Ley de Kepler

La segunda ley de Kepler o también llamada como la ley de áreas , es aquella ley que enuncia lo siguiente; Una linea del Sol a un planeta barre áreas iguales en lapsos de tiempo iguales. Veamos la imagen que lo describe mejor.

Esta ley nos indica que la rapidez orbital de un planeta varía en diferentes punto de su órbita. Debido a que la órbita del planeta es elíptica, su rapidez orbital es mayor cuando está más cerca del Sol que cuando está más lejos. Curiosamente Newton más tarde demostró que esto era consecuencia de su ley de la gravitación universal.

Tercera Ley de Kepler

La tercera ley de Kepler o también conocida como la ley de periodos , es una ley que establece que el cuadrado del periodo orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia promedio entre el planeta y el Sol; es decir que:

$\displaystyle {{T}^{2}}\propto {{r}^{3}}$

Es fácil deducir la fórmula de la tercera ley de Kepler, a partir de la ley gravitacional de Newton, e igualando con la fuerza centrípeta que proviene de la fuerza de gravedad. Teniendo en cuenta esto, entonces decimos que:

Fuerza Centrípeta = Fuerza Gravitacional

Entonces:

$\displaystyle \frac{{{m}_{p}}{{v}^{2}}}{r}=\frac{G{{m}_{p}}{{M}_{s}}}{{{r}^{2}}}$

Dónde:

mp = Masa del Planeta

Ms = Masa del Sol

r = distancia

G = constante gravitacional

Despejando a la velocidad “v”, tenemos que:

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}$

Pero como la velocidad es distancia sobre tiempo, y podemos interpretarla como la distancia del círculo (2πr) sobre el Periodo (tiempo que tarda en dar la vuelta).

$\displaystyle \frac{2\pi r}{T}=\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}$

Vamos a despejar al periodo “T”

$\displaystyle T=\frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}}$

Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos que:

$\displaystyle {{T}^{2}}={{\left( \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}} \right)}^{2}}=\frac{4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}}{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}=\frac{4{{\pi }^{2}}{{r}^{3}}}{G{{M}_{s}}}$

Dejando fuera a r^3, tenemos que:

$\displaystyle {{T}^{2}}=\left( \frac{4{{\pi }^{2}}}{G{{M}_{s}}} \right){{r}^{3}}$

De aquí podemos tomar a lo siguiente como una constante, la constante de Kepler:

$\displaystyle K=\frac{4{{\pi }^{2}}}{G{{M}_{s}}}$

Podemos incluso, reescribir nuestra fórmula de la siguiente manera:

$\displaystyle {{T}^{2}}=K{{r}^{3}}$

Ejercicios Resueltos de la Ley de Kepler

Para centrarnos en los ejercicios, tomaremos la fórmula de la tercera ley de Kepler que nos servirá para calcular ciertos datos, veamos entonces un ejemplo.

Ejemplo 1.- El planeta tierra posee un satélite natural llamado “Luna”, Puesto que la luna se encuentra a una distancia promedio de 384,400 km de la tierra, y tiene un periodo orbital de 27 días, calcule la masa de la tierra.

Solución.

El problema nos proporciona algunos datos importantes como la distancia “r” y el valor del periodo “T”, por lo que podemos calcular el valor de Kt, esto sería en unidades del Sistema Internacional, así que veamos:

$\displaystyle T=27dias\left( \frac{86400s}{1dia} \right)=2.3328x{{10}^{6}}s$

$\displaystyle r=384400km\left( \frac{1000m}{1km} \right)=384.4x{{10}^{6}}m$

$\displaystyle K=\frac{{{T}^{2}}}{{{r}^{3}}}$

Procedemos entonces al cálculo de K

$\displaystyle K=\frac{{{T}^{2}}}{{{r}^{3}}}=\frac{{{(2.3328x{{10}^{6}}s)}^{2}}}{{{(384.4x{{10}^{6}}m)}^{3}}}$

De ahí tenemos que:

$\displaystyle K=\frac{{{T}^{2}}}{{{r}^{3}}}=\frac{5.442x{{10}^{12}}{{s}^{2}}}{5.68x{{10}^{25}}{{m}^{3}}}=9.581x{{10}^{-14}}\frac{{{s}^{2}}}{{{m}^{3}}}$

Entonces, podemos despejar de la fórmula de Kepler para la masa de la tierra:

$\displaystyle K=\frac{4{{\pi }^{2}}}{G{{M}_{T}}}$

De aquí despejamos a Mt

$\displaystyle {{M}_{T}}=\frac{4{{\pi }^{2}}}{GK}=\frac{4{{\pi }^{2}}}{(6.67x{{10}^{-11}}\frac{N\cdot {{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}})(9.581x{{10}^{-14}}\frac{{{s}^{2}}}{{{m}^{3}}})}$

Entonces, la masa de la tierra es:

$\displaystyle {{M}_{T}}=6.18x{{10}^{24}}kg$

Vendría a ser un aproximado, pero sería la manera correcta de realizar el cálculo de la masa de la tierra.

Conclusión

Johanes Kepler fue un gran astrónomo, que con gran precisión trabajó la parte cinemática del sistema solar, aunque sin llegar a una explicación dinámica del mismo, es decir, cuáles fueron las causas que originan dichos movimientos. Sin embargo, la contribución a la astronomía es digna de elogio pues su investigación se llevó a cabo cuando aún no se había inventado el telescopio.

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Qué tal amig@s, el día de hoy tocaremos uno de los temas que más nos han pedido, las leyes de Newton, también conocidas como las leyes del movimiento, o simplemente las 3 leyes de Newton. Pero bien antes hablar de las leyes que cambiaron la forma en como vemos el mundo y la física, y los grandes avances científicos gracias a éstas leyes, vamos a narrar un poquito más sobre quien era Isaac Newton, ya en algunos artículos hablamos de él, por ejemplo en el Binomio de Newton, o en el tema de Caida Libre. Pues bien;

Isaac Newton nació en 1643 en Inglaterra, justo en el año en que murió Galileo, fue una persona muy brillante e inteligente, se dedicó en vida a estudiar las leyes naturales que rigen el movimiento de las cosas, desde la famosa caída al suelo de una manzana partió para establecer las relaciones entre la fuerza que provocaba dicha caída y la fuerza que sostenía a la luna en su órbita alrededor de la Tierra. Fue el primero en darle una precisión exacta al radio terrestre. Pero una de las obras que cambiaría al mundo por completo sería en el año 1687 cuando publicó su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, pues allí expuso las tres leyes, conocidas las leyes de Newton, o también llamada las leyes de la dinámica, que en consecuencia surgiría la ley de la gravitación universal.

Primera Ley de Newton

La primera ley de Newton también conocida como la Ley de Inercia, no precisamente Newton fue el primero en estudiarla, habían estudios de otros científicos como Arístoteles, e incluso Galileo
Galilei, y ambos tenían un concepto un “poco” diferente a lo que Newton postularía más adelante en sus obras. Por ejemplo:

Ley de Inercia de Arístoteles

Aristóteles dijo: Un cuerpo sólo se puede mover de manera constante si existe una fuerza actuando sobre él. – Algo que sabemos que no es precisamente cierto, puesto que por ejemplo, si ponemos un objeto sobre la superficie del hielo, éste al momento de aplicarle una fuerza, o empujarlo. Nos daremos cuenta que el objeto no se va a detener, pues la capa de fricción es casi nula, algo que aristóteles todavía no consideraba.

Pero el tiempo pasó y llegó el gran Galileo Galilei y aportó lo siguiente.

Ley de Inercia de Galileo Galilei

Galileo dijo: Un cuerpo en acción de fuerza, se detiene porque existe una fuerza de fricción entre el objeto y el suelo que opone dicho movimiento, y un cuerpo en reposo continuará en reposo, ya que el que posee movimiento se moverá en línea recta a velocidad constante.

Ley de Inercia de Isaac Newton

Issac Newton aprovechó de alguna forma los estudios previos hechos por Galileo y de ahí enunció la primer ley de la mecánica o ley de inercia de la siguiente manera:

Todo cuerpo se mantiene en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero.

Algunos ejemplos de la primera ley de Newton son:

Al viajar en un automóvil y el conductor frena, la mayoría de los pasajeros sentirán que van hacía adelante, éste fenómeno es efecto de la velocidad que lleva el auto, es por ello la fabricación de cinturones de seguridad.
Lo mismo ocurre con un jinete sobre un caballo, si el caballo frena su movimiento, el jinete saldrá disparado.

En el tercer ejemplo aparece el Maestro Roshi efectuando cierta fuerza sobre una piedra, al haber una fuerza opuesta al movimiento conocida como fricción, ésta impide que haya movimiento alguno, hasta que la suma de las fuerzas aplicadas a la piedra sean mayores al de la fricción.

Segunda Ley de Newton

La segunda ley de Newton es la ley que explica los cambios de velocidad que sufre un cuerpo cuando recibe una fuerza neta. Un cambio en su velocidad en el tiempo , recibe el nombre de aceleración, así que una fuerza desequilibrada sobre dicho cuerpo produce una aceleración. Por lo que cuanto mayor sea la magnitud de la fuerza aplicada, mayor será la magnitud de la aceleración. Aunque sabemos que los cambios en la aceleración significan también cambios en la dirección del objeto en movimiento.

Todos los experimentos actualmente indican que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada, y tiene la dirección de ésta, es decir:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\propto \overrightarrow{F}$

No olvidar que las flechitas arriba de la aceleración y fuerza indican cantidades vectoriales. Después de su investigación Sir Isaac Newton afirmó que la masa del objeto también desempeña un papel importante en la relación de fuerza y aceleración, de tal forma que cuanto más masivo sea ol objeto (tenga más masa), menor será su aceleración. Si tenemos dos sacos de arena, uno menos masa y otro de más masa, el que sea de menor masa experimentará una aceleración mayor al otro. De aquí podemos decir que la magnitud de la aceleración es inversamente proporcional a la de la masa.

$\displaystyle \overrightarrow{a}\propto \frac{\overrightarrow{F}}{m}$

La masa es una cantidad escalar, por eso no lleva “flechita arriba”, entonces podemos decir que la segunda ley de Newton es:

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa

Matemáticamente esto lo podemos apreciar como:

$\displaystyle \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

Las unidades son en base al SI (Sistema Internacional), que serán Newtons.

1 Newton = 1 Kg m /s^2

El Peso

Es común decir que el peso es la relación que existe entre la masa de un objeto por la gravedad, ya que el peso es la fuerza de atracción gravitacional de la tierra sobre el objeto.

$\displaystyle w=mg$

La unidad es el Newton.

Ejercicios Resueltos de la Segunda Ley de Newton

Para poder resolver ejercicios aplicando la fórmula de la segunda ley, es importante revisar el siguiente post -> Ejercicios Resueltos de la Segunda Ley de Newton

Tercera Ley de Newton

Por la tercera Ley de Newton o la ley de Acción y Reacción, sabemos que no puede haber una fuerza si no están implicados dos cuerpos. Por ejemplo, al momento de golpear un balón, el balón experimenta una acción sobre él, Pero el balón también reacciona empujando hacia atrás a nuestro pie. Las magnitudes son iguales, lo único que cambia en esta ley es la dirección ya que es opuesta. Es por ello que decimos que la tercera ley de Newton dice:

Por cada fuerza de acción hay una reacción igual pero opuesta

Resumen de las Tres Leyes de Newton

Las Leyes de Newton han aportado un gran valor a la vida diaria, a la ciencia para entender la complejidad de muchos fenómenos que ocurren dentro y fuera del planeta. Son las leyes básicas de la mecánica. Si te gustó el artículo, no dudes en compartir

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¿Qué tal lectores? Antes de comenzar a ver ejercicios resueltos de la segunda ley de Newton, es importante haber leído Las tres leyes de Newton (Click aquí para leer el post) ya que a partir de la teoría explicada en ese artículo, vamos a poder entender con profundidad los ejemplos resueltos y no tendremos ninguna dificultad, así que si ya leíste las tres leyes, entonces es momento de practicar y poner a prueba nuestros conocimientos.

Si bien la segunda Ley de Newton nos advierte, que la fuerza F que actúa en un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración y a la masa. Y la escribíamos matemáticamente mediante la siguiente fórmula:

$\displaystyle \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

De aquí podemos decir que entre mayor sea la masa de un cuerpo, tanto mayor será su inercia; es decir, la masa de un cuerpo es una medida de la inercia del mismo.

La segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton es una de las leyes básicas de la mecánica; es útil en el análisis de los movimientos planetarios, así como la explicación de la atracción de los cuerpos mediante la gravitación universal, su aplicación puede ser usada en diversas disciplinas, no solo en la física.

Ejercicios Resueltos de la Segunda Ley de Newton

Empecemos con los ejemplos resueltos de ésta segunda ley, estos problemas bien pueden ser para un nivel de secundaria o preparatoria, ESO, etc… Veamos entonces.

Ejemplo 1.- Calcular la magnitud de la aceleración que produce una fuerza cuya magnitud es de 50 N a un cuerpo cuya masa es de 13,000 gramos. Expresar el resultado en m/s^2

Solución: En el ejemplo, tenemos prácticamente nuestros datos, que es lo primero que tenemos que hacer.

F = 50 N

m = 13,000 gramos

a = ?

Hacemos la conversión de los gramos a kilogramos, ya que son las unidades del sistema internacional.

$\displaystyle m=13000g\left( \frac{1kg}{1000g} \right)=13kg$

Despejando la aceleración de la fórmula de la segunda ley de Newton, tenemos:

$\displaystyle a=\frac{F}{m}=\frac{50N}{13kg}=3.85\frac{m}{{{s}^{2}}}$

Que vendría a ser nuestro resultado.

Ejemplo 2.- Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza cuya magnitud de 350 N le produce una aceleración cuya magnitud es de 520 cm/s^2. Exprese el resultado en kg (Unidad de masa del sistema internacional).

Solución: Hacemos lo mismo del paso anterior, vamos a colocar nuestros datos, con ello tenemos entonces:

F = 350 N

a = 520 cm/s^2

m = ?

Vamos a colocar a nuestra aceleración en unidades de metros por segundo al cuadrado, para ello hacemos nuestra conversión.

$\displaystyle a=520\frac{cm}{{{s}^{2}}}\left( \frac{1m}{100cm} \right)=5.2\frac{m}{{{s}^{2}}}$

Ahora si podemos despejar a la masa de la fórmula de Newton.

$\displaystyle m=\frac{F}{a}=\frac{350N}{5.2\frac{m}{{{s}^{2}}}}=67.31kg$

Ejemplo 3.- Determinar la magnitud de la fuerza que recibe un cuerpo de 45 kg, la cual le produce una aceleración cuya magnitud es de 5 m/s^2.

Solución: Pasamos a escribir los datos:

m = 45 kg

a = 5m/s^2

F = ?

Entonces aplicamos la fórmula de la segunda Ley de Newton

$\displaystyle F=ma=(45kg)(5\frac{m}{{{s}^{2}}})=225N$

Qué vendría a ser nuestra fuerza.

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¿Cómo están Lectores ?, hoy tenemos un nuevo artículo que habla exclusivamente sobre el tiro parabólico o movimiento parabólico, uno de los temas más importantes dentro de la cinemática y un claro ejemplo de la trayectoria del movimiento de un cuerpo en dos dimensiones, o bien sobre algún plano.

Estaremos hablando sobre un término muy común en física que es sobre los proyectiles, y de aquí podemos formular la siguiente pregunta ¿qué es un proyectil?.

Un proyectil es un cuerpo que inicialmente se le impulsa una velocidad inicial por dicho efecto mantiene una trayectoria parabólica determinada causada por la aceleración de la gravedad y la resistencia del aire. Si queremos citar un ejemplo, puede ser un niño pateando un balón, o un objeto siendo tirado por alguna persona, es importante recordar que a diferencia de la caída libre, en la caída libre la velocidad inicial es cero, y en el movimiento parabólico hay existencia de una velocidad inicial.

Si bien, la definición o concepto del tiro parabólico es entender que es la combinación de dos movimientos independientes , el primero es un MRUA (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado) que se expresa de alguna forma en un tiro vertical durante la elevación y como caída libre durante su caída. El segundo se trata de un MRU (Movimiento rectilíneo uniforme) característica por la cual permanece el movimiento constante durante todo el recorrido. ¿Se entiende?, esperamos que si

Fórmulas del Movimiento Parabólico

Antes de establecer las fórmulas del movimiento parabólico, primero analicemos la siguiente imagen que describe un claro ejemplo de dicho movimiento en dos dimensiones.

Es importante tener en cuenta la interpretación gráfica para que no haya problema alguno con los ejemplos del movimiento parabólico, entonces lo primero que observamos en la descripción del movimiento, es lo siguiente.

El vector de velocidad inicial se descompone en sus componentes rectangulares horizontal (vx) y vertical (vy)
Durante el movimiento ascendente, la componente vertical de la velocidad empieza a disminuir.
Llegando a la altura máxima, la componente vertical disminuye hasta llegar a cero.
Después de ascender el cuerpo, la componente vertical empieza aumentar nuevamente.
La componente horizontal, se mantiene constante durante todo el movimiento.

No se involucra la masa en el movimiento Parabólico

En el movimiento parabólico, al igual que en caída libre y tiro vertical, no se incluye a la masa, porque es despreciable para movimientos cinemáticos, si quisiéramos agregar a la masa, tendríamos que tener en cuenta muchos factores, como la resistencia del aire, viscosidad, y un sin fin de variables.

Ahora bien, las fórmulas que vamos a usar en este movimiento oblicuo parabólico, es el siguiente:

1.- Para calcular la altura máxima, aplicamos:

$\displaystyle h=\frac{{{v}_{0}}^{2}se{{n}^{2}}\theta }{2g}$

2.- Para calcular el alcance , aplicamos:

$\displaystyle R=\frac{{{v}_{0}}^{2}sen2\theta }{g}$

3.- Para calcular el tiempo total, aplicamos:

$\displaystyle {{t}_{t}}=\frac{2{{v}_{0}}sen\theta }{g}$

4.- Para calcular la posición de un proyectil en un determinado tiempo

Para x es :

$\displaystyle x={{v}_{0x}}t$

Para y es:

$\displaystyle y={{v}_{0y}}t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}$

5.- Para calcular el tiempo en la altura máxima es:

$\displaystyle t'=\frac{{{v}_{0y}}}{g}$

Ahora es momento de pasar a los ejercicios resueltos del tiro parabólico.

6.- Para descomponer la forma rectangular del vector velocidad es:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{v}_{0x}}={{v}_{0}}\cos \theta \\{{v}_{0y}}={{v}_{0}}sen\theta \end{array}$

7.- Para obtener la magnitud de la velocidad en un determinado punto es:

$\displaystyle v=\sqrt{{{\left( {{v}_{0x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{v}_{0y}} \right)}^{2}}}$

8.- Para obtener la velocidad en “y” en un determinado tiempo.

$\displaystyle {{v}_{y}}={{v}_{0y}}-gt$

Con esto tenemos para poder resolver nuestros primeros ejemplos.

9.- Para calcular el alcance teniendo el tiempo total y velocidad en “x”.

$\displaystyle x={{v}_{0x}}{{t}_{t}}$

Ejercicios Resueltos del Movimiento Parabólico

Problema 1.- Un jugador de Fútbol Americano patea el balón con una velocidad de 30 m/s, y éste mismo lleva un ángulo de elevación de 48° respecto a la horizontal. Calcule; a) Altura, b) Alcance, c) Tiempo que permanece en el aire

Veamos la gráfica del problema:

Solución: Empecemos a resolver los incisos de éste ejemplo.

A) Para calcular nuestra altura, apliquemos la fórmula 1 que pusimos arriba.

$\displaystyle h=\frac{{{v}_{0}}^{2}se{{n}^{2}}\theta }{2g}=\frac{{{(30\frac{m}{s})}^{2}}se{{n}^{2}}(48{}^\circ )}{2(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})}=25.36m$

Para el seno al cuadrado de 48°, primero se obtiene el seno de 48 y luego al resultado se eleva al cuadrado, y se realizan las operaciones indicadas.

B) Para calcular el alcance, apliquemos la fórmula 2, así que tendremos lo siguiente:

$\displaystyle R=\frac{{{v}_{0}}^{2}sen2\theta }{g}=\frac{{{(30\frac{m}{s})}^{2}}sen2(48{}^\circ )}{9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}}=91.33m$

Para el angulo doble del seno, el ángulo de 48° se multiplica por dos, después se le saca el seno a ese resultado y finalmente se realizan las operaciones.

C) Para calcular el tiempo que permanece el objeto sobre el aire, aplicamos la fórmula 3.-

$\displaystyle {{t}_{t}}=\frac{2{{v}_{0}}sen\theta }{g}=\frac{2(30\frac{m}{s})sen(48{}^\circ )}{9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}}=4.55s$

Y con esto prácticamente habremos resuelto nuestro primer ejercicio ¿fácil no? , realmente hemos aplicado las fórmulas

Problema 2.- Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 80 m/s y un ángulo de 30°, por encima de la horizontal. Calcular: a) Posición y velocidad después de los 6s b) Tiempo para alcanzar la altura máxima c) Alcance horizontal

Solución: Empecemos a resolver los incisos de éste ejemplo.

A) Para calcular la posición y velocidad en los 6 segundos, aplicaremos la fórmula 4, pero primero debemos descomponer en su forma rectangular a nuestro vector de velocidad inicial, con la fórmula 6.-

$\displaystyle {{v}_{0x}}={{v}_{0}}\cos \theta =\left( 80\frac{m}{s} \right)\cos 30{}^\circ =69.28\frac{m}{s}$

$\displaystyle {{v}_{0y}}={{v}_{0}}sen\theta =\left( 80\frac{m}{s} \right)sen30{}^\circ =40\frac{m}{s}$

Ahora si procedemos a calcular la posición a los 6 segundos.

$\displaystyle x={{v}_{0x}}t=(69.28\frac{m}{s})(6s)=415.68m$

415.68 metros es la posición en “x” a los 6 segundos.

$\displaystyle y={{v}_{0y}}t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}=(40\frac{m}{s})(6s)-\frac{(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}){{(6s)}^{2}}}{2}=240m-176.4m=63.6m$

63.6 metros es la posición en “y” a los 6 segundos.

Ahora para saber la velocidad general en ese punto aplicamos primero la fórmula 8.

$\displaystyle {{v}_{y}}={{v}_{0y}}-gt=40\frac{m}{s}-(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})(6s)=-18.8\frac{m}{s}$

La velocidad negativa, indica que ya pasó el punto más alto y el proyectil está empezando a descender.

Aplicando la fórmula 7, y recordando que la velocidad en “x” a los 6 segundos, es la misma siempre, no hay cambios a diferencia de “y” que si cambia, y que ya hemos calculado.

$\displaystyle v=\sqrt{{{\left( {{v}_{0x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{v}_{0y}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 69.28\frac{m}{s} \right)}^{2}}+{{\left( -18.8\frac{m}{s} \right)}^{2}}}=71.79\frac{m}{s}$

B) Para que podamos calcular el tiempo en alcanzar la altura máxima, usamos la fórmula 5.-

$\displaystyle t'=\frac{{{v}_{0y}}}{g}=\frac{40\frac{m}{s}}{9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}}=4.08s$

Qué sería el tiempo en tocar la altura máxima.

C) Para poder calcular el alcance, hacemos uso de la fórmula 9, aquí multiplicaremos el tiempo de la altura máxima por 2, para saber el tiempo total.

$\displaystyle x={{v}_{0x}}{{t}_{t}}=(69.28\frac{m}{s})(8.16s)=565.23m$

Y con esto tenemos el problema resuelto

Problema 3.- Una máquina lanza un proyectil a una velocidad inicial de 110 m/s , con ángulo de 35°, Calcular: a) Posición del proyectil a los 6s, b) Velocidad a los 6s, c) Tiempo en la máxima altura, d) Tiempo total del vuelo, e) Alcance logrado

Solución: Para este tercer ejemplo, se da por hecho que ya sabemos como aplicar las fórmulas, así que solo estaremos aplicando la fórmula para obtener nuestros resultados.

A) Posición del Proyectil a los 6 segundos, pero primero descomponemos el vector velocidad.

$\displaystyle {{v}_{0x}}={{v}_{0}}\cos \theta =\left( 110\frac{m}{s} \right)\cos 35{}^\circ =90.11\frac{m}{s}$

$\displaystyle {{v}_{0y}}={{v}_{0}}sen\theta =\left( 110\frac{m}{s} \right)sen35{}^\circ =63.09\frac{m}{s}$

Ahora, si calculamos la posición, tanto en “x” como en “y”:

$\displaystyle x=(90.11\frac{m}{s})(6s)=540.66m$

$\displaystyle y={{v}_{0y}}t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}=(63.09\frac{m}{s})(6s)-\frac{(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}){{(6s)}^{2}}}{2}=378.54m-176.4=202.14$

B) Para poder calcular la velocidad a los 6 segundos, solamente nos hace falta calcular la velocidad en y, ya que en “x” es la misma todo el tiempo.

$\displaystyle {{v}_{y}}={{v}_{0y}}-gt=63.09\frac{m}{s}-(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})(6s)=4.29\frac{m}{s}$

Ahora si calculamos la magnitud de la velocidad a los 6 segundos.

$\displaystyle v=\sqrt{{{\left( {{v}_{0x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{v}_{0y}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 90.11\frac{m}{s} \right)}^{2}}+{{\left( 4.29\frac{m}{s} \right)}^{2}}}=90.21\frac{m}{s}$

C) Para calcular el tiempo en la altura máxima, aplicamos su fórmula:

$\displaystyle t'=\frac{{{v}_{0y}}}{g}=\frac{63.09\frac{m}{s}}{9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}}=6.44s$

D) Para el tiempo total de vuelo, solo hace falta multiplicar por 2, al tiempo de la altura máxima.

$\displaystyle t''=2\left( \frac{{{v}_{0y}}}{g} \right)=2\left( 6.44s \right)=12.88s$

E) Para calcular el alcance logrado, aplicamos la fórmula:

$\displaystyle x={{v}_{0x}}{{t}_{t}}=(90.11\frac{m}{s})(12.88s)=1160.62m$

y listo, problema resueltooooo!!!

Conclusión del Tiro Parabólico

Para concluir éste movimiento oblicuo, podemos decir que; el tiro parabólico es la combinación de dos movimientos, el MRU y el MRUA; o bien el tema de la caída libre o tiro vertical. Por ende sabemos también que para que se produzca un tiro parabólico debe de haber un ángulo de inclinación y cierta velocidad inicial, que después se descompone en sus componentes horizontal y vertical y se observa todo lo que ocurre con sus propiedades cinemáticas del vuelo a través de las fórmulas que ya hemos mencionado. Posee cierta diferencia al tiro horizontal, que veremos en otro artículo. ¡Gracias por leernos y aprender!

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¿Cómo están lectores? Anteriormente a esta publicación hablamos sobre el tiro parabólico, y explicamos las diversas fórmulas, con ejercicios resueltos paso a paso, para que cada lector de Fisimat entienda perfectamente de que trata el tema, así que hoy nos toca hablar sobre el tiro horizontal o lanzamiento horizontal, el cuál lo explicaremos más práctico que teórico puesto que todo parte del movimiento parabólico, así que presta mucha atención, porque tenemos que definir el término de movimiento horizontal.

Entonces ¿qué es el tiro horizontal? el tiro horizontal es aquél movimiento que se caracteriza por describir un camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzando horizontalmente, es el resultado de dos movimientos independientes; un movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, la diferencia de éste movimiento con el tiro parabólico es que al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal (vx), debido a que carece de ángulo de inclinación, , por lo tanto no presente velocidad vertical inicial , o sea que (vy = 0), para entender un poco mejor el movimiento, veamos la siguiente imagen.

Las ecuaciones del tiro horizontal son similares al del movimiento parabólico, teniendo en cuenta que no hay velocidad inicial en “y”.

Fórmulas del Tiro Horizontal

No necesitamos aprendernos muchas fórmulas, es muy sencillo. Solo debemos de tener en cuenta las siguientes:

1.- Para realizar los cálculos de las velocidades iniciales.

$\displaystyle {{v}_{x}}={{v}_{0x}}$

$\displaystyle {{v}_{0y}}=0$

Con esto observamos, que solamente al inicio tenemos velocidad inicial en “x”, y en “y” es prácticamente nulo.

2.- Para calcular la posición horizontal y vertical en cualquier instante.

$\displaystyle x=\left( {{v}_{0x}} \right)\left( t \right)$

$\displaystyle y=\frac{\left( g \right)\left( {{t}^{2}} \right)}{2}$

3.- Para calcular las componentes de la velocidad “v” en cualquier instante.

$\displaystyle {{v}_{0x}}={{v}_{x}}$

$\displaystyle {{v}_{y}}=\left( g \right)\left( t \right)$

Si observamos, solamente tenemos que calcular la velocidad en “y” , porque la de “x” es la misma que la inicial.

4.- Para poder calcular la velocidad en cualquier instante aplicamos la siguiente fórmula:

$\displaystyle v=\sqrt{{{\left( {{v}_{x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{v}_{y}} \right)}^{2}}}$

5.- Para poder calcular el tiempo que permanece en el aire el objeto, aplicamos:

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2\left( y \right)}{g}}$

Bien, ahora es momento perfecto para practicar. Así que poner atención a los problemas para no tener dudas.

Ejercicios Resueltos del Tiro Horizontal

Vamos con el primer ejemplo.

Problema 1.- Un lanzador de béisbol arroja una pelota horizontalmente desde lo alto de un barranco, dicha pelota posee una velocidad de 9 m/s, se pide calcular, la distancia horizontal y vertical a los 1.5 segundos de caída.

Solución: Recordemos que al ser un tiro horizontal, la velocidad vertical no existe, solo tendremos una velocidad inicial en “x” que es de 9 m/s, ahora si nos piden calcular la distancia horizontal y vertical, en determinado tiempo, podemos recurrir a la fórmula 2.

Así que para nuestra posición en “x”, aplicamos:

$\displaystyle x=\left( {{v}_{0x}} \right)\left( t \right)=\left( 9\frac{m}{s} \right)\left( 1.5s \right)=13.5m$

Ahora aplicando la fórmula de “y”, tenemos:

$\displaystyle y=\frac{\left( g \right)\left( {{t}^{2}} \right)}{2}=\frac{\left( 9.8\frac{m}{{{s}^{2}}} \right){{\left( 1.5s \right)}^{2}}}{2}=11.025m$

Por lo que (13.5 m, 11.025m) son las coordenadas de posición donde ha descendido la pelota. Problema resuelto

Problema 2.- Un esquiador salta horizontalmente con una velocidad inicial de 30 m/s, la altura de la rampa desde la que salta es de 80 metros arriba del punto de contacto, calcule a) ¿cuánto tiempo permanece en el aire el esquiador? b) ¿cuánto lejos viajó horizontalmente? , c) sus componentes horizontal y vertical de velocidad

Solución: Bien, nuevamente seguiremos haciendo uso de nuestras fórmulas para la solución de éste problema, así que prestad atención.

a) Para calcular cuanto tiempo permanece en el aire, aplicaremos la fórmula 5:

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2\left( y \right)}{g}}=\sqrt{\frac{2\left( 80m \right)}{9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}}}=4.04s$

Qué sería el tiempo que el esquiador permanece en el aire.

b) Para poder saber lo lejos que viajó horizontalmente, aplicamos la fórmula de la posición en “x”.

$\displaystyle x=\left( {{v}_{0x}} \right)\left( t \right)=\left( 30\frac{m}{s} \right)\left( 4.04s \right)=121.2m$

c) Para calcular las componentes de velocidad horizontal y vertical.

Como se trata de un tiro horizontal, la velocidad horizontal es la misma que la inicial , es decir. 30m/s, la única que nos haría falta sería la velocidad vertical , así que aplicamos.

$\displaystyle {{v}_{y}}=\left( g \right)\left( t \right)=\left( 9.8\frac{m}{{{s}^{2}}} \right)\left( 4.04s \right)=39.6\frac{m}{s}$

y listo, problema resuelto

Problema 3.- Con un resorte comprimiéndose se dispara horizontalmente una pelota, desde la parte superior de un edificio de 15 metros de altura, la velocidad inicial con la que sale la pelota es de 7 m/s. Calcular a) el tiempo de caída ; b) la distancia que cae de la base del edificio; c) componente horizontal y vertical al tocar el suelo

Solución: Nuevamente aplicaremos las fórmulas antes mencionadas, solo que ésta vez lo haremos más intuitivamente.

a) Para poder calcular el tiempo de caída apliquemos:

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2\left( y \right)}{g}}=\sqrt{\frac{2\left( 15m \right)}{9.8\frac{m}{{{s}^{2}}}}}=1.75s$

b) Para poder calcular la distancia de la base del edificio aplicamos:

$\displaystyle x=\left( {{v}_{0x}} \right)\left( t \right)=\left( 7\frac{m}{s} \right)\left( 1.75s \right)=12.25m$

c) Para obtener las componentes horizontal y vertical de velocidad aplicamos lo siguiente:

$\displaystyle {{v}_{x}}=7\frac{m}{s}$

La velocidad horizontal, es la misma que la inicial.

$\displaystyle {{v}_{y}}=\left( g \right)\left( t \right)=\left( 9.8\frac{m}{{{s}^{2}}} \right)\left( 1.75s \right)=17.05\frac{m}{s}$

Conclusión

El tiro horizontal representa uno de los temas en dos dimensiones muy importantes en Física, es de gran interés estudiar para ver lo que ocurre con los proyectiles, su alcance, su velocidad final, el vector velocidad al momento de caer, entre otras características involucradas en el movimiento. ¿te gustó el tema? , no dudes en compartir

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Estimados lectores, nuevamente seguimos publicando acerca de los temas de Física y de como entenderlos sin tener ninguna dificultad, en esta ocasión nos toca hablar de uno de los temas que más confunde a los estudiantes, y se trata del movimiento circular. Bien expliquemos de que se trata este movimiento y todo sus derivados:

El movimiento circular es un movimiento que está relacionado con la misma naturaleza, desde el movimiento de los planetas alrededor del sol, o el movimiento de la tierra sobre sí misma, el movimiento de un balón al golpearlo, el movimiento de las llantas de algún móvil. Como vemos hay muchas formas de ejemplo para poder explicar lo que es el movimiento circular. Una de las grandes cosas que caracteriza a éste movimiento es que al ser un movimiento repetitivo, se le clasifica como periódico.

El movimiento circular se realiza sobre dos dimensiones, tal como se ha hecho con el movimiento parabólico, y tiro horizontal.

Pero debemos preguntarnos ¿cómo se produce el movimiento circular?, y la respuesta es interesante, el movimiento circular se genera cuando una fuerza externa fuera del cuerpo llamada centrípeta, describe una forma perpendicular a la trayectoria que describe el movimiento. Aquí se involucra el eje de rotación como origen del sistema, y varía de acuerdo al sentido de la dirección del vector.

El Concepto de Periodo Y Frecuencia

Para entender aún más a éste movimiento, es importante tener en cuenta los siguientes dos conceptos. El periodo y la frecuencia.

Periodo: Periodo “T” es el tiempo que le toma a un cuerpo dar una vuelta completa.

$\displaystyle T=\frac{s}{ciclo}$

Frecuencia: La frecuencia se define como el número de vueltas completas, revoluciones o ciclos que puede efectuar un cuerpo en unidad de tiempo. Sus unidades son los Hertz (Hz), Por ejemplo, si un cuerpo presenta 1 Hz, entonces estamos hablando de que realiza una vuelta completa.

$\displaystyle f=\frac{ciclo}{s}$

Como dato importante es que tanto el periodo como la frecuencia son cantidades inversas, el periodo equivale a la inversa de la frecuencia, y la frecuencia a la inversa del periodo.

En algunos textos de Física, también encontraremos que muchas veces para referirse a la expresión de frecuencia se hace mediante los RPM = Revoluciones por Minuto, que prácticamente necesitaremos convertir a ciclos por segundo para expresarlo en el Sistema Internacional.

El desplazamiento angular y el radian

El desplazamiento angular de un objeto lo describe la cantidad de rotación y se representa por el ángulo formado al girar el cuerpo de un punto A a un punto B, tal como se ve en la imagen de arriba.

Por otra parte tenemos al radian, que representa una magnitud geométrica y adimensional, no posee unidades, es el cociente entre dos longitudes, el arco simbolizado con la letra “S” y el radio “r”,

La velocidad angular

La velocidad angular se define como el desplazamiento angular por unidad de tiempo, suele ser una cantidad vectorial, o sea que posee magnitud, dirección y sentido. Dicha velocidad angular tiene tres fórmulas que pueden usarse para los problemas que estaremos realizando en nuestro tema.

$\displaystyle \omega =\frac{\theta }{t}$

Dónde:

ω = velocidad anguar (rad/s)

θ = desplazamiento angular (rad)

t = tiempo (s)

Otra forma de calcular la velocidad angular, es mediante esta otra fórmula.

$\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}$

Dónde:

ω = velocidad anguar (rad/s)

π = 3.1416 rad

T = segundos / ciclos

Por ende, podemos decir que la tercera forma para calcular la velocidad angular, es mediante la siguiente expresión:

$\displaystyle \omega =2\pi f$

La aceleración angular

La aceleración se define como aquella variación que sufre la velocidad angular por unidad de tiempo:

$\displaystyle \alpha =\frac{{{\omega }_{f}}-{{\omega }_{i}}}{t}=\frac{\omega }{t}$

Dónde:

α = aceleración angular (rad/s²)

Velocidad Tangencial

La velocidad tangencial es un tipo de velocidad lineal que se presenta solo en el extremo de la trayectoria del movimiento que describe. Se puede decir que es un vector siempre perpendicular al vector posición radio.

El valor de la velocidad tangencial es de gran importancia porque nos aporta la seguridad de la rapidez con la que gira un cuerpo y la velocidad que ésta tendría si saliera disparado. Por ecuación lo podemos encontrar de la siguiente forma:

$\displaystyle {{v}_{t}}=\omega r$

Dónde:

r = radio (m)

También podemos encontrarlo de la siguiente forma:

$\displaystyle {{v}_{t}}=\frac{2\pi r}{T}$

O también como:

$\displaystyle {{v}_{t}}=2\pi rf$

Aceleración Tangencial

La definición de la aceleración tangencial, hace referencia a la variación de velocidad lineal o tangencial, puesto que corresponde a un movimiento circular variado o movimiento circular uniformemente variado (MCUA).

$\displaystyle {{a}_{t}}=\alpha r$

Aceleración Centrípeta

La aceleración centrípeta es una aceleración que siempre está presente, es la causante de que la velocidad tangencial, localizada en la parte del contorno de la circunferencia cambie repentinamente de dirección y sentido, aunque ésta no influya en su valor. Por lo general éste tipo de aceleración es perpendicular a la velocidad tangencial. Dada por las siguientes dos fórmulas:

$\displaystyle {{a}_{c}}=\frac{{{v}_{t}}^{2}}{r}$

o también como:

$\displaystyle {{a}_{c}}={{\omega }^{2}}r$

La Aceleración Resultante

Si el movimiento circular es variado se presentan tanto la aceleración tangencial, como la aceleración centrípeta, por lo que si requerimos calcular la aceleración resultante, tendremos que hacerlo mediante la siguiente fórmula:

$\displaystyle {{a}_{R}}=\sqrt{{{a}_{c}}^{2}+{{a}_{t}}^{2}}$

Fuerza Centrípeta

La fuerza centrípeta es una fuerza que está dirigida hacía el centro del movimiento circular, deducida por las leyes de Newton, posee la siguiente ecuación:

$\displaystyle {{F}_{c}}=\left( m \right)\left( {{a}_{c}} \right)$

Dónde:

m = masa (kg)

También podemos encontrarla mediante la siguiente fórmula:

$\displaystyle {{F}_{c}}=\frac{\left( m \right){{\left( {{v}_{t}} \right)}^{2}}}{r}$

Fuerza Centrífuga

La fuerza centrífuga nunca actúa sobre el cuerpo, actúa sobre la tensión que hace girar al cuerpo, no hay que confundirse con esta definición, Su tensión aumenta mientras incrementa la velocidad de rotación.

Ejercicios Resueltos del Movimiento Circular

Problema 1.- Al realizar un Movimiento Circular Uniformemente Acelerado un objeto describe un radio de 0.8 m y efectúa una vuelta completa en 0.2 segundos para este instante, calcular: a) velocidad angular, b) velocidad tangencial, c) aceleración tangencial, d) aceleración centrípeta, e) aceleración resultante

Solución: Vamos a utilizar las fórmulas expuestas en cada definición, así que prestar mucha atención. Porque será de gran relevancia.

Nuestros datos son:

r = 0.8 m

T = 0.2 s

a) Calculando la Velocidad Angular

Para calcular la velocidad angular, podemos usar la siguiente fórmula, que relaciona solamente al periodo.

$\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2(3.1416)rad}{0.2s}=31.42\frac{rad}{s}$

b) Calculando la velocidad tangencial

Para poder obtener la velocidad tangencial, aplicamos la fórmula y sustituimos los datos.

$\displaystyle {{v}_{t}}=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2(3.1416)\left( 0.8m \right)}{0.2s}=25.13\frac{m}{s}$

c) Calculando la aceleración tangencial

Para obtener la aceleración tangencial, necesitamos saber la aceleración angular, para ello aplicamos la fórmula:

$\displaystyle \alpha =\frac{\omega }{t}=\frac{31.42\frac{rad}{s}}{0.2s}=157.1\frac{rad}{{{s}^{2}}}$

Ahora si aplicamos la fórmula de la aceleración tangencial.

$\displaystyle {{a}_{t}}=\alpha r=\left( 157.1\frac{rad}{{{s}^{2}}} \right)\left( 0.8m \right)=125.68\frac{m}{{{s}^{2}}}$

d) Calculando la aceleración centrípeta.

Para obtener la aceleración centrípeta, aplicamos la siguiente fórmula y sustituimos datos:

$\displaystyle {{a}_{c}}=\frac{{{v}_{t}}^{2}}{r}=\frac{{{\left( 25.13\frac{m}{s} \right)}^{2}}}{0.8m}=789.4\frac{m}{{{s}^{2}}}$

una aceleración demasiado grande.

e) Calculando la velocidad resultante

Aplicamos la siguiente fórmula:

$\displaystyle {{a}_{R}}=\sqrt{{{a}_{c}}^{2}+{{a}_{t}}^{2}}=\sqrt{{{\left( 789.4\frac{m}{{{s}^{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( 125.68\frac{m}{{{s}^{2}}} \right)}^{2}}}=799.34\frac{m}{{{s}^{2}}}$

Y con este resolvemos el ejercicio

Problema 2.- Una pieza metálica sujeta a una cuerda, describe un movimiento circular con radio de 0.35 m y tarda 0.40 segundos en dar una vuelta completa, ¿qué aceleración centrípeta representa?

Solución: El problema es más sencillo que el ejemplo anterior, ya que solamente nos piden la aceleración centrípeta, para obtener dicha aceleración necesitamos conocer la velocidad tangencial, y posteriormente la aceleración centrípeta.

$\displaystyle {{v}_{t}}=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2(3.1416)\left( 0.35m \right)}{0.4s}=5.5\frac{m}{s}$

Ahora si podemos calcular la aceleración centrípeta.

$\displaystyle {{a}_{c}}=\frac{{{v}_{t}}^{2}}{r}=\frac{{{\left( 5.5\frac{m}{s} \right)}^{2}}}{0.35m}=86.43\frac{m}{{{s}^{2}}}$

Y listo problema resuelto

Problema 3.- Una piedra de 0.06kg de masa se hace girar mediante una cuerda de 1.5 metros de longitud. Si ésta presenta en su superficie una velocidad tangencial de 9 m/s. ¿cuál es su fuerza centrípeta?

Solución: En este ejemplo a diferencia de los anteriores, poseemos una masa de la piedra, y es lógico, porque queremos encontrar una fuerza, y sabemos que por la segunda ley de Newton, para obtener la fuerza es necesario una masa.

Aplicamos la fórmula:

$\displaystyle {{F}_{c}}=\frac{\left( m \right){{\left( {{v}_{t}} \right)}^{2}}}{r}=\frac{\left( 0.06kg \right){{\left( 9\frac{m}{s} \right)}^{2}}}{1.5m}=3.24N$

y listo, hemos obtenido la fuerza centrípeta.

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Dentro de la Geometría Analítica existen varios temas de gran interés, pero para poder comprender la mayoría de ellos es de vital importancia conocer las bases o principios que fundamentan esta área. Una de ellas es la distancia entre dos puntos.

Vamos analizar los tres casos de estudio más importantes para poder simplificar los cálculos, y con ello darnos cuenta de identificar la formula y resolver ejercicios sin caer en el error.

Fórmula de la distancia entre dos Puntos

Antes de comenzar analizar los casos, es recomendable decir; que los tres casos hacen referencia a la solución del mismo problema, solamente que se analizan de una forma que se pueda entender mejor el tema de la distancia dirigida y no dirigida. Y con ello poder llegar a la fórmula de la distancia entre dos puntos general.

Distancia Horizontal Entre Dos puntos

Imaginemos que tenemos dos pares ordenados P1(x1, y1) y P2(x2, y2), tales puntos están localizados de tal forma que éstas formen una recta horizontal, es decir, paralela al eje de las abscisas o eje “x”. Para poder calcular la distancia entre tales puntos es:

$\displaystyle {{p}_{1}}{{p}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}$

Recordemos que si la recta va del punto 1 hasta el punto 2, entonces tomamos la parte final menos la parte inicial. De otra forma:

$\displaystyle {{p}_{2}}{{p}_{1}}={{x}_{1}}-{{x}_{2}}$

En este caso vamos del punto 2 hasta el punto 1, por lo que nuestro punto inicial es x1 y el final x2.

En cualquier caso que deseemos tomar como punto inicial o final, la distancia siempre será la misma, a ese procedimiento de cantidad absoluta, se le conoce como distancia no dirigida.

Nuestra Fórmula para la distancia horizontal entre dos puntos, es la siguiente:

$\displaystyle \left| {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right|=\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$

Distancia Vertical Entre Dos puntos

Al igual que la distancia entre dos puntos horizontal, en la distancia vertical podemos tomar dos puntos cualesquiera que pertenezcan a una misma recta de forma vertical, es decir que sea paralela al eje de las ordenadas, o eje “y”. Para poder calcular la distancia realizamos el siguiente argumento:

Sea la distancia dirigida del punto 1 al punto 2.

$\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}={{y}_{2}}-{{y}_{1}}$

Ahora, si deseamos encontrar la distancia del punto 2 al punto 1.

$\displaystyle {{P}_{2}}{{P}_{1}}={{y}_{1}}-{{y}_{2}}$

Y si lo que realmente deseamos es calcular la distancia desde cualquier punto, como una distancia no dirigida, entonces aplicamos lo que sería nuestra fórmula.

$\displaystyle \left| {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right|=\left| {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right|=\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|$

Calcula la distancia en Donde Quieras

Hasta ahora podemos darnos cuenta que para calcular la distancia entre dos puntos, no importa que punto tomemos como inicio o como final, el resultado siempre será el mismo. Tomar el valor absoluto de la cantidad, para corroborar.

Distancia Entre Dos Puntos General

En este tercer caso la situación se vuelve más interesante, porque veremos aplicar una técnica que debimos aprender en Geometría y Trigonometría.

Pues bien, al observar la imagen de la distancia entre dos puntos, nos damos cuenta que los puntos ya no se encuentran de forma horizontal, ni de forma vertical. Si no que ahora están en forma de diagonal, pero para buen observador también nos percatamos que hay un punto M (x1, y2), donde su par ordenado tiene la abscisa del punto 1, y tiene la ordenada del punto 2. Esto finalmente forma un triángulo rectángulo.

Dónde:

$\displaystyle \left| {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right|=hipotenusa$

$\displaystyle {{M}_{1}}{{P}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}$ Cateto Adyacente

$\displaystyle {{P}_{1}}{{M}_{1}}={{y}_{2}}-{{y}_{1}}$ Cateto Opuesto

Como podemos ver, para poder calcular la distancia entre el punto 1 y el punto 2, es necesario recurrir al Teorema de Pitágoras

Aplicando el Teorema de Pitágoras, tenemos:

$\displaystyle {{\left( {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{M}_{1}}{{P}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{P}_{1}}{{M}_{1}} \right)}^{2}}$

Para quitar el cuadrado del primer miembro, obtenemos la raíz cuadrada de ambos miembros, quedando así.

$\displaystyle \sqrt{{{\left( {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{M}_{1}}{{P}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{P}_{1}}{{M}_{1}} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}=\sqrt{{{\left( {{M}_{1}}{{P}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{P}_{1}}{{M}_{1}} \right)}^{2}}}$

Sustituyendo por los pares ordenados, esto queda así:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$

Qué finalmente la podemos escribir de esta forma.

$\displaystyle d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$

La forma general de calcular la distancia entre dos puntos, estén donde estén. La fórmula aplica siempre.

Ejemplos Resueltos de Distancia entre Dos Puntos

1.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-5, 3) y P2 (4, 3).

Solución: Observando las coordenadas, podemos darnos cuenta que sobre el eje “y” no se mueve para nada, por lo que se trata de una recta totalmente horizontal.

Si deseamos calcular la distancia, simplemente aplicamos nuestra fórmula:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=4-(-5)=4+5=9$

Por lo que hay una distancia de 9 unidades.

2.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-4, 3) y P2 (3, 2)

Solución:

En este ejemplo es diferente, vemos que hay una distancia que tenemos que calcular aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos general.

Elegimos cualquier punto, puede ser el Punto 1, o puede ser el Punto 2. No importa a quién tomemos como inicial, el resultado debe ser el mismo. En este caso vamos elegir al punto uno como inicial, y punto dos como final.

De nuestra fórmula:

$\displaystyle d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3-(-4) \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle d=\sqrt{{{(3+4)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}$

$\displaystyle d=\sqrt{{{(7)}^{2}}+{{(1)}^{2}}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$

$\displaystyle d\approx 7.071$

3.- Encuentre la distancia entre los puntos siguientes, considere el par ordenado P1 (-2, 3) y P2 (3,3).

Solución:

Al igual que el ejercicio anterior, para poder calcular la distancia entre los dos puntos (P1P2), es necesario aplicar la fórmula que implica el teorema de pitágoras.

Vamos a tomar para este ejemplo P1P2 (P1 como punto inicial y P2 como punto final).

Quedando así:

$\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3-(-2) \right)}^{2}}+{{\left( -3-3 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 3+2 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle d=\sqrt{{{(5)}^{2}}+36}$

$\displaystyle d=\sqrt{61}$

$\displaystyle d\approx 7.810$

Intentemos subir un poco el nivel, y veamos otro ejemplo donde usemos un poco más el recurso del álgebra.

4.- Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto A (1, -11); si la ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa.

Solución:

No podemos bosquejar la recta, porque nos hace falta la abscisa, y es justo lo que el problema nos pide, sin embargo podemos puntualizar nuestros datos, para ver el procedimiento que llevaremos a cabo, entonces.

d = 17

Punto A = (1, -11)

Punto B = (x2, 4)

Llamaremos a “x2” a la abscisa que no conocemos, y que vamos a encontrar. Si establecemos la fórmula de la distancia entre dos puntos, tendríamos lo siguiente:

$\displaystyle d=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}$

Vamos a despejar a “x2” de la fórmula. Si tienes problemas de despeje, puedes ir a nuestro artículo de Aprende a como despejar fórmulas

Entonces, quitamos la raíz cuadrada elevando ambos miembros al cuadrado

$\displaystyle {{d}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}$

Con esto eliminamos la raíz cuadrada del segundo miembro, ahora pasemos la cantidad que está sumando de “y2-y1” al primer miembro y ésta pasará a restar.

$\displaystyle {{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}$

Donde está nuestra incógnita “x2” todavía tenemos un binomio al cuadrado, así que procedemos a sacar la raíz en ambos miembros.

$\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}$

Perfecto, ahora solo despejamos a nuestra incógnita, pasando a sumar a “x1” al primer miembro.

$\displaystyle \sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}+{{x}_{1}}={{x}_{2}}$

Invertimos la igualdad, y tenemos finalmente lo que deseamos.

$\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{d}^{2}}-{{({{y}_{2}}-{{y}_{1}})}^{2}}}+{{x}_{1}}$

Ahora simplemente sustituimos nuestros datos en lo que hemos despejado de la fórmula, y veremos el resultado.

$\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{(4-(-11))}^{2}}}+1$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{(4+11)}^{2}}}+1=\sqrt{289-{{(15)}^{2}}}+1$

Y luego

$\displaystyle {{x}_{2}}=\pm \sqrt{64}+1$

Al extraer la raíz cuadrada de 64, recordemos que debemos tomar un valor + (positivo) y un – (negativo).

$\displaystyle {{x}_{2}}=\pm 8+1$

Por lo que tendríamos dos abscisas, una sería:

$\displaystyle {{x}_{21}}=9$

Y la otra

$\displaystyle {{x}_{22}}=-7$

Esto nos llevaría a tener 3 puntos en el plano cartesiano.

$\displaystyle \begin{array}{l}{{P}_{A}}=(1,-11)\\{{P}_{B}}=(9,4)\\{{P}_{C}}=(-7,4)\end{array}$

Sin duda éste problema es un problema más completo para comprender la importancia de las abscisas y ordenadas en un punto, y las formas en como podemos encontrarnos algunos problemas.

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Durante nuestro estudio de la Geometría Analítica, nos vamos a encontrar con un método interesante para poder calcular las coordenadas de un punto P (o sea un punto cualquiera que llamamos “P”), que está dividido por un segmento cuyas extremidades son el P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la razón dada por la siguiente relación:

$\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}$

Hasta este punto puede ser confuso lo explicado, pero no es necesario enredarse con la definición. Mas abajo veremos la definición en una gráfica y nos daremos una mejor idea de lo que intentamos explicar, y ver como llevar a cabo el procedimiento para encontrar la fórmula de la división de un segmento en una razón dada , y poder resolver ejercicios sin dificultad alguna. Es necesario que para estudiar este tema se tenga idea de como despejar variables y conocimiento de álgebra.

Obtención de la Fórmula de la División de un Segmento dada una Razón

Bien, analicemos entonces la siguiente gráfica.

Si sabemos que la razón está dada mediante la relación:

$\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}$

Vamos a proyectar las coordenadas de los puntos en los dos ejes. De la siguiente manera.

Bien, ahora tenemos las proyecciones en el eje de las abscisas “x”, con los puntos A, y sobre el eje de las ordenadas “y” para los puntos B. Estos nos servirán de referencia para poder obtener nuestra fórmula, entonces vamos a relacionar lo siguiente:

$\displaystyle \frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}=\frac{{{A}_{1}}A}{A{{A}_{2}}}$

Ahora veamos las distancias dirigidas, ¿no recuerdas qué son?, puedes regresar al tema de Distancia entre Dos Puntos , si ya recuerdas que son, entonces es momento de aplicar dicho conocimiento, para relacionar lo siguiente:

$\displaystyle {{A}_{1}}A=x-{{x}_{1}}$

y hacemos lo mismo con el siguiente segmento de AA2

$\displaystyle A{{A}_{2}}={{x}_{2}}-x$

Perfecto, ahora podemos sustituir estos datos en la fórmula de la razón.

$\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}=\frac{{{A}_{1}}A}{A{{A}_{2}}}=\frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-x}$

Como “x” es la que estamos buscando, porque forma parte del punto del segmento, entonces procedemos a despejar. Si no recuerdas como despejar, recuerda Aprende a como despejar fórmulas

$\displaystyle r=\frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-x}$

Procedemos a despejar:

$\displaystyle r({{x}_{2}}-x)=x-{{x}_{1}}$

Operamos lo del primer miembro

$\displaystyle r{{x}_{2}}-rx=x-{{x}_{1}}$

Acomodamos a las “x” en el primer miembro, quedando así:

$\displaystyle -rx-x=-{{x}_{1}}-r{{x}_{2}}$

Multiplicamos todo por (-1), para que se vuelvan positivos.

$\displaystyle rx+x={{x}_{1}}+r{{x}_{2}}$

Factorizamos a “x” en el primer miembro.

$\displaystyle x(r+1)={{x}_{1}}+r{{x}_{2}}$

Despejamos el monomio que está multiplicando a “x”, quedando así nada más la variable que necesitamos.

$\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+1}$

Quedando así nuestra “x” despejada totalmente, ¡Solo que aplicaremos una condición!.

$\displaystyle r\ne -1$

nuestra razón no puede ser igual a (-1) porque esto nos haría indeterminado nuestra operación, y no está definida.

Para obtener “y”, hacemos exactamente el mismo cálculo y procedimiento.

$\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}B}{B{{B}_{2}}}=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-y}$

$\displaystyle r=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-y}$

$\displaystyle r({{y}_{2}}-y)=y-{{y}_{1}}$

$\displaystyle r{{y}_{2}}-ry=y-{{y}_{1}}$

$\displaystyle -ry-y=-{{y}_{1}}-r{{y}_{2}}$

$\displaystyle ry+y={{y}_{1}}+r{{y}_{2}}$

$\displaystyle y(r+1)={{y}_{1}}+r{{y}_{2}}$

$\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+1}$

La misma condición respecto a el valor que no puede obtener “r”

$\displaystyle r\ne -1$

Fórmula de la División de un Segmento en una Razón Dada

Cómo vimos anteriormente, ya hemos encontrado la fórmula que aplicaremos de aquí en adelante para resolver ejercicios de este tema, y con ello podrás resolver hasta más de 10 ejemplos.

Para encontrar las coordenadas de punto P que divide al segmento, es la siguiente:

Fórmula:

$\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+1}$

$\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+1}$

Con la siguiente condición:

$\displaystyle r\ne -1$

Ahora, también podemos encontrar la fórmula del punto medio de un segmento, suponiendo que la distancia entre el segmento P1P sea igual a la distancia con PP2. Por lo que la razón sería igual a la unidad.

$\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}=1$

Sustituyendo en la fórmula:

$\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+1}=\frac{{{x}_{1}}+(1){{x}_{2}}}{1+1}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}$

Ahora para “y”

$\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+1}=\frac{{{x}_{1}}+(1){{y}_{2}}}{1+1}=\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}$

Fórmula del Punto Medio

$\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}$

$\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}$

Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Comencemos con los siguientes ejercicios resueltos paso a paso, y verás que no es difícil.

1.- Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A (5, 3) y B (-2,8) en la razón r = 3/4

Solución:

Sin tanta complicación, podemos utilizar nuestras fórmulas y sustituir nuestros datos.

Recordar que en el punto A, tenemos lo siguiente:

$\displaystyle {{x}_{1}}=5$

$\displaystyle {{y}_{1}}=3$

Y para el punto B

$\displaystyle {{x}_{2}}=-2$

$\displaystyle {{y}_{2}}=8$

Ahora, sustituyendo tenemos:

$\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+1}=\frac{5+\left( \frac{3}{4} \right)\left( -2 \right)}{\frac{3}{4}+1}=\frac{5-\frac{6}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{\frac{14}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{14(4)}{7(4)}=\frac{14}{7}=2$

$\displaystyle x=2$

Concluimos que x = 2, ahora hagamos lo mismo para “y”.

$\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+1}=\frac{3+\left( \frac{3}{4} \right)(8)}{\frac{3}{4}+1}=\frac{3+\frac{24}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{3+6}{\frac{7}{4}}=\frac{9}{\frac{7}{4}}=\frac{36}{7}\approx 5.143$

$\displaystyle y\approx 5.143$

El valor de “y” será un valor aproximadamente de 5.143.

De forma gráfica esto es.

Veamos otro ejemplo

2.-Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (3, -2) y B (5,6), encuentra las coordenadas del centro

Solución:

Aunque parezca un problema diferente al anterior, sigue siendo muy similar. La idea de que encontremos las coordenadas del centro de una circunferencia sin antes haber visto el tema de las diversas figuras en el plano cartesiano no debe causar confusión. Si ya tenemos las coordenadas de el diámetro, entonces por intuición debemos saber que la razón será la unidad, puesto que a la mitad del diámetro, lo que realmente tenemos es el punto medio así que tracemos nuestras coordenadas en el plano cartesiano.

Al momento de realizar nuestro cálculo, considerando a r = 1

$\displaystyle {{P}_{A}}=(3,-2)$

$\displaystyle {{P}_{B}}=(5,6)$

Ahora sustituimos.

$\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+1}=\frac{3+\left( 1 \right)\left( 5 \right)}{1+1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$

Bien, ahora hagamos lo mismo pero para “y”

$\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+1}=\frac{-2+\left( 1 \right)\left( 6 \right)}{1+1}=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$

Por lo tanto las coordenadas buscadas para el Centro es C (4,2). Quedando así:

Genial! Ahora veamos otro ejemplo.

3.- Hallar las coordenadas del punto P (x,y) que divide al segmento determinado por A (-2, 5) y B (10,-2) en la razón r = 2/3

Solución:

Al igual que en el ejercicio 1, debemos asignar las coordenadas de los dos puntos. De tal forma que:

Punto A

$\displaystyle {{x}_{1}}=-2$

$\displaystyle {{y}_{1}}=5$

Punto B

$\displaystyle {{x}_{2}}=10$

$\displaystyle {{y}_{2}}=-2$

Ahora sustituimos en la fórmula para encontrar la abscisa del punto P

$\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+1}=\frac{-2+\left( \frac{2}{3} \right)\left( 10 \right)}{\frac{2}{3}+1}=\frac{-2+\frac{20}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{\frac{14}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{14(3)}{5(3)}$

$\displaystyle x=\frac{14}{5}=2.8$

Ahora pasamos a calcular a la ordenada del punto P

$\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+1}=\frac{5+\left( \frac{2}{3} \right)\left( -2 \right)}{\frac{2}{3}+1}=\frac{5-\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{\frac{11}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{11(3)}{5(3)}$

$\displaystyle y=\frac{11}{5}=2.2$

Quedando así finalmente nuestro problema.

Con esto tenemos prácticamente el ejercicio completado. Esperamos haya sido totalmente de tu agrado y comprensión. Si hay dudas, escribirlas abajo en la caja de comentarios

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Bien, ¿todo correcto hasta aquí? , esperemos que si. Ahora es momento de ver el Tubo de Venturi.

Fórmula del Tubo de Venturi

Bien, vamos a encontrar la ecuación para el Tubo de Venturi, a partir de los conocimientos básicos de la Principio de Bernoulli para ello vamos a escribir la ecuación de Bernoulli.

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

$\displaystyle {{\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Agrupando los términos:

$\displaystyle \frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}-\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}$

Para no seguir escribiendo al 2 en el denominador del segundo miembro, vamos a multiplicar ambos miembros por dos.

$\displaystyle 2\left( \frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}-\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}} \right)=2\left( \frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2} \right)$

Recordemos que la densidad será de un líquido, y no intervendrán más de uno, entonces podemos decir que:

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}$ –> Ecuación (1)

El gasto en la parte más ancha del tubo debe ser igual al más estrecho:

$\displaystyle {{G}_{1}}={{G}_{2}}$

O sea que:

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

Vamos a despejar a V2, suponiendo que lo que queremos calcular es la velocidad inicial del fluido.

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Vamos a sustituir ello en la Ecuación 1, quedando así:

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{\left( \frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}-{{v}_{1}}^{2}$

Factorizando a v1

$\displaystyle \frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)={{v}_{1}}^{2}\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)$

Despejando a v1

$\displaystyle {{v}_{1}}^{2}=\frac{\frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}$

Sacando raíz cuadrada en ambos miembros, tenemos que:

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{\frac{2}{\rho }\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}}$

Muchos libros, consideran hasta este punto la fórmula para el tubo de Venturi , sin embargo vamos a reducir más la fórmula.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( \frac{{{A}_{1}}^{2}}{{{A}_{2}}^{2}}-1 \right)}}$

Vamos a resolver la resta de fracciones que tenemos en el denominador con las áreas, de ahí sacaremos al denominador común.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\frac{\rho }{{{A}_{2}}^{2}}\left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Aplicando la ley de la torta, vamos a tener lo siguiente.

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{2{{A}_{2}}^{2}\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Por la propiedad de los radicales, sino sabes como resolver radicales aquí lo explicamos.

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Qué vendría a ser nuestra fórmula

Ahora es momento de practicar.

Ejercicios Resueltos del Tubo de Venturi

Solución: Analicemos primeramente nuestros datos:

Esta es la fórmula que usaremos:

$\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}\sqrt{\frac{2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)}{\rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)}}$

Para no confundirnos, es mejor resolver primero lo que tenemos en el numerador dentro de la raíz, y después lo del denominador, es decir:

$\displaystyle 2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)=2\left( 4.2x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}-3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}} \right)=24000\frac{N}{{{m}^{2}}}$

Después el denominador, no sin antes calcular las áreas por separado.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{(0.1524m)}^{2}}}{4}=0.01824{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{(0.0762m)}^{2}}}{4}=0.00456{{m}^{2}}$

Ahora si calculamos el denominador:

$\displaystyle \rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\left( {{\left( 0.01824{{m}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 0.00456{{m}^{2}} \right)}^{2}} \right)=0.3119kgm$

Entonces sustituyendo nuestros datos:

Qué sería nuestra velocidad inicial.

a) Calcule la velocidad inicial del agua que fluye a través de la tubería.

b) ¿Cuál es el gasto?

c) ¿Cuál es el flujo?

Solución: Nuevamente tenemos un problema con las características iniciales del problema 1, por lo que lo más recomendable es recopilar nuestros datos, así que colocamos:

Posteriormente, vamos a convertir los diametros a área, lógicamente tenemos que usar la unidad de longitud en metros, y no en centímetros, esto es muy importante.

$\displaystyle {{d}_{1}}=10.16cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.1016m$

$\displaystyle {{d}_{2}}=5.08cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.0508m$

Ahora calculemos las áreas.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{(0.1016m)}^{2}}}{4}=0.0081{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{(0.0508m)}^{2}}}{4}=0.0020{{m}^{2}}$

Ahora nuevamente como el ejercicio anterior, calculemos por separado lo del numerador y denominador que están dentro de la raíz cuadrada.

$\displaystyle 2\left( {{p}_{1}}-{{p}_{2}} \right)=2\left( 3x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}}-1.9x{{10}^{4}}\frac{N}{{{m}^{2}}} \right)=22000\frac{N}{{{m}^{2}}}$

Ahora el denominador

$\displaystyle \rho \left( {{A}_{1}}^{2}-{{A}_{2}}^{2} \right)=1000\frac{kg}{{{m}^{3}}}\left( {{\left( 0.0081{{m}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 0.0020{{m}^{2}} \right)}^{2}} \right)=0.06161kgm$

Es momento de calcular nuestra velocidad inicial.

Qué sería nuestra velocidad inicial, que es lo que nos pide el problema.

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Imaginemos que deseamos encontrar la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio en un recipiente. Para ello, tenemos que recurrir a la fórmula conocida de Bernoulli.

Deducción de la fórmula de Torricelli

De la imagen anterior podemos observar a la presión, a la altura, al área y la velocidad, entonces de nuestra fórmula de Bernoulli tenemos que:

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}$

Como la energía de presión es provocada por la presión atmosférica y ésta es la misma en los dos puntos, entonces decimos que:

$\displaystyle \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}=g{{h}_{2}}$

Despejando a la velocidad, tenemos que:

$\displaystyle {{v}_{1}}=\sqrt{2g{{h}_{2}}}$

Generalizando esto es:

$\displaystyle v=\sqrt{2gh}$

Dónde:

v = Velocidad del líquido que sale por el orificio (m/s)

g = Magnitud de la aceleración de la gravedad (9.8 m/s^2)

h = profundidad a la que se encuentra el orificio de salida (m)

Ejercicios Resueltos del Teorema de Torricelli

Ejemplo 1.- ¿Con qué velocidad sale un líquido por un orificio que se encuentra a una profundidad de 1.4 m?

Solución: Analizando el problema y considerando nuestros datos, tenemos que:

v = ?

h = 1.4 m

g = 9.8 m/s^2

Aplicando la fórmula:

$\displaystyle v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})(1.4m)}=\sqrt{27.44}=5.24\frac{m}{s}$

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 2.- Determine a qué altura se debe abrir un orificio de un estanque, para que el líquido salga con una velocidad de 9 m/s.

Solución: Bien, para poder resolver este ejemplo, simplemente tenemos que despejar a la variable “h” de nuestra fórmula:

$\displaystyle h=\frac{{{v}^{2}}}{2g}$

Sustituyendo nuestros datos que son:

v = 9 m/s

g = 9.8 m/s^2

$\displaystyle h=\frac{{{v}^{2}}}{2g}=\frac{{{(9\frac{m}{s})}^{2}}}{2(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})}=4.13m$

Que vendría a ser nuestro resultado.

Espero que te haya servido estos ejercicios, si tienes dudas al respecto, favor de dejarlo en la caja de comentarios puestas aquí abajo!!

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Las Leyes de Kepler se publicaron en el año 1609, curiosamente ese mismo año el físico Galileo Galilei construyó su primer telescopio.

Bien, pasemos a conocer las Leyes de Kepler.

Primera Ley de Kepler

Segunda Ley de Kepler

Tercera Ley de Kepler

$\displaystyle {{T}^{2}}\propto {{r}^{3}}$

Fuerza Centrípeta = Fuerza Gravitacional

Entonces:

$\displaystyle \frac{{{m}_{p}}{{v}^{2}}}{r}=\frac{G{{m}_{p}}{{M}_{s}}}{{{r}^{2}}}$

Dónde:

mp = Masa del Planeta

Ms = Masa del Sol

r = distancia

G = constante gravitacional

Despejando a la velocidad “v”, tenemos que:

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}$

Pero como la velocidad es distancia sobre tiempo, y podemos interpretarla como la distancia del círculo (2πr) sobre el Periodo (tiempo que tarda en dar la vuelta).

$\displaystyle \frac{2\pi r}{T}=\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}$

Vamos a despejar al periodo “T”

$\displaystyle T=\frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}}$

Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos que:

$\displaystyle {{T}^{2}}={{\left( \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}} \right)}^{2}}=\frac{4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}}{\frac{G{{M}_{s}}}{r}}=\frac{4{{\pi }^{2}}{{r}^{3}}}{G{{M}_{s}}}$

Dejando fuera a r^3, tenemos que:

$\displaystyle {{T}^{2}}=\left( \frac{4{{\pi }^{2}}}{G{{M}_{s}}} \right){{r}^{3}}$

De aquí podemos tomar a lo siguiente como una constante, la constante de Kepler:

$\displaystyle K=\frac{4{{\pi }^{2}}}{G{{M}_{s}}}$

Podemos incluso, reescribir nuestra fórmula de la siguiente manera:

$\displaystyle {{T}^{2}}=K{{r}^{3}}$

Ejercicios Resueltos de la Ley de Kepler

Para centrarnos en los ejercicios, tomaremos la fórmula de la tercera ley de Kepler que nos servirá para calcular ciertos datos, veamos entonces un ejemplo.

Solución.

$\displaystyle T=27dias\left( \frac{86400s}{1dia} \right)=2.3328x{{10}^{6}}s$

$\displaystyle r=384400km\left( \frac{1000m}{1km} \right)=384.4x{{10}^{6}}m$

$\displaystyle K=\frac{{{T}^{2}}}{{{r}^{3}}}$

Procedemos entonces al cálculo de K

$\displaystyle K=\frac{{{T}^{2}}}{{{r}^{3}}}=\frac{{{(2.3328x{{10}^{6}}s)}^{2}}}{{{(384.4x{{10}^{6}}m)}^{3}}}$

De ahí tenemos que:

$\displaystyle K=\frac{{{T}^{2}}}{{{r}^{3}}}=\frac{5.442x{{10}^{12}}{{s}^{2}}}{5.68x{{10}^{25}}{{m}^{3}}}=9.581x{{10}^{-14}}\frac{{{s}^{2}}}{{{m}^{3}}}$

Entonces, podemos despejar de la fórmula de Kepler para la masa de la tierra:

$\displaystyle K=\frac{4{{\pi }^{2}}}{G{{M}_{T}}}$

De aquí despejamos a Mt

$\displaystyle {{M}_{T}}=\frac{4{{\pi }^{2}}}{GK}=\frac{4{{\pi }^{2}}}{(6.67x{{10}^{-11}}\frac{N\cdot {{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}})(9.581x{{10}^{-14}}\frac{{{s}^{2}}}{{{m}^{3}}})}$

Entonces, la masa de la tierra es:

$\displaystyle {{M}_{T}}=6.18x{{10}^{24}}kg$

Vendría a ser un aproximado, pero sería la manera correcta de realizar el cálculo de la masa de la tierra.

Conclusión

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Primera Ley de Newton

Ley de Inercia de Arístoteles

Pero el tiempo pasó y llegó el gran Galileo Galilei y aportó lo siguiente.

Ley de Inercia de Galileo Galilei

Ley de Inercia de Isaac Newton

Issac Newton aprovechó de alguna forma los estudios previos hechos por Galileo y de ahí enunció la primer ley de la mecánica o ley de inercia de la siguiente manera:

Todo cuerpo se mantiene en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero.

Algunos ejemplos de la primera ley de Newton son:

Al viajar en un automóvil y el conductor frena, la mayoría de los pasajeros sentirán que van hacía adelante, éste fenómeno es efecto de la velocidad que lleva el auto, es por ello la fabricación de cinturones de seguridad.
Lo mismo ocurre con un jinete sobre un caballo, si el caballo frena su movimiento, el jinete saldrá disparado.

Segunda Ley de Newton

Todos los experimentos actualmente indican que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada, y tiene la dirección de ésta, es decir:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\propto \overrightarrow{F}$

$\displaystyle \overrightarrow{a}\propto \frac{\overrightarrow{F}}{m}$

La masa es una cantidad escalar, por eso no lleva “flechita arriba”, entonces podemos decir que la segunda ley de Newton es:

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa

Matemáticamente esto lo podemos apreciar como:

$\displaystyle \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

Las unidades son en base al SI (Sistema Internacional), que serán Newtons.

1 Newton = 1 Kg m /s^2

El Peso

Es común decir que el peso es la relación que existe entre la masa de un objeto por la gravedad, ya que el peso es la fuerza de atracción gravitacional de la tierra sobre el objeto.

$\displaystyle w=mg$

La unidad es el Newton.

Ejercicios Resueltos de la Segunda Ley de Newton

Vamos a pensar en el siguiente ejemplo..-

Problema 1.- Calcular la fuerza aplicada a un balón que posee una aceleración de 2 m/s² y a su vez posee una masa de 0.5 kg

Solución: Si analizamos los datos del problema, nos proporciona una aceleración que posee el balón y a su vez una masa de 0.5 kg, o sea medio kilo de masa. Para poder calcular la fuerza, aplicamos la fórmula de la segunda ley de Newton, y obtendremos lo siguiente:

$\displaystyle F=ma=\left( 0.5kg \right)\left( 2\frac{m}{{{s}^{2}}} \right)=1kg\frac{m}{{{s}^{2}}}=1N$

Por lo tanto, tenemos una fuerza de 1 Newton actuando sobre el balón, ¿fácil no?, si deseas aprender más de los ejercicios, tienes que ir al link de abajo

Para poder resolver ejercicios aplicando la fórmula de la segunda ley, es importante revisar el siguiente post -> Ejercicios Resueltos de la Segunda Ley de Newton

Tercera Ley de Newton

Por cada fuerza de acción hay una reacción igual pero opuesta

Resumen de las Tres Leyes de Newton

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$\displaystyle \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

De aquí podemos decir que entre mayor sea la masa de un cuerpo, tanto mayor será su inercia; es decir, la masa de un cuerpo es una medida de la inercia del mismo.

La segunda ley de Newton

Ejercicios Resueltos de la Segunda Ley de Newton

Empecemos con los ejemplos resueltos de ésta segunda ley, estos problemas bien pueden ser para un nivel de secundaria o preparatoria, ESO, etc… Veamos entonces.

Ejemplo 1.- Calcular la magnitud de la aceleración que produce una fuerza cuya magnitud es de 50 N a un cuerpo cuya masa es de 13,000 gramos. Expresar el resultado en m/s^2

Solución: En el ejemplo, tenemos prácticamente nuestros datos, que es lo primero que tenemos que hacer.

F = 50 N

m = 13,000 gramos

a = ?

Hacemos la conversión de los gramos a kilogramos, ya que son las unidades del sistema internacional.

$\displaystyle m=13000g\left( \frac{1kg}{1000g} \right)=13kg$

Despejando la aceleración de la fórmula de la segunda ley de Newton, tenemos:

$\displaystyle a=\frac{F}{m}=\frac{50N}{13kg}=3.85\frac{m}{{{s}^{2}}}$

Que vendría a ser nuestro resultado.

Solución: Hacemos lo mismo del paso anterior, vamos a colocar nuestros datos, con ello tenemos entonces:

F = 350 N

a = 520 cm/s^2

m = ?

Vamos a colocar a nuestra aceleración en unidades de metros por segundo al cuadrado, para ello hacemos nuestra conversión.

$\displaystyle a=520\frac{cm}{{{s}^{2}}}\left( \frac{1m}{100cm} \right)=5.2\frac{m}{{{s}^{2}}}$

Ahora si podemos despejar a la masa de la fórmula de Newton.

$\displaystyle m=\frac{F}{a}=\frac{350N}{5.2\frac{m}{{{s}^{2}}}}=67.31kg$

Ejemplo 3.- Determinar la magnitud de la fuerza que recibe un cuerpo de 45 kg, la cual le produce una aceleración cuya magnitud es de 5 m/s^2.

Solución: Pasamos a escribir los datos:

m = 45 kg

a = 5m/s^2

F = ?

Entonces aplicamos la fórmula de la segunda Ley de Newton

$\displaystyle F=ma=(45kg)(5\frac{m}{{{s}^{2}}})=225N$

Qué vendría a ser nuestra fuerza.

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Estaremos hablando sobre un término muy común en física que es sobre los proyectiles, y de aquí podemos formular la siguiente pregunta ¿qué es un proyectil?.

Fórmulas del Movimiento Parabólico

Antes de establecer las fórmulas del movimiento parabólico, primero analicemos la siguiente imagen que describe un claro ejemplo de dicho movimiento en dos dimensiones.

El vector de velocidad inicial se descompone en sus componentes rectangulares horizontal (vx) y vertical (vy)
Durante el movimiento ascendente, la componente vertical de la velocidad empieza a disminuir.
Llegando a la altura máxima, la componente vertical disminuye hasta llegar a cero.
Después de ascender el cuerpo, la componente vertical empieza aumentar nuevamente.
La componente horizontal, se mantiene constante durante todo el movimiento.