Ley de Tangentes – Ejercicios Resueltos

Hey que tal!!! antes de iniciar el artículo, perdonar la falta de acentuación en el comic de arriba, pero el tipo de fuente no permite agregar acentos..

Ahora si… En la semana publicamos dos artículos relacionados con la ley de senos y la ley de cosenos. En la cual se desarrollaron algunos ejercicios resueltos e indicado para que tipo de casos se suelen aplicar. Pero estoy seguro que también te has hecho la pregunta. ¿Y existirán también ley para las tangentes?

La respuesta es Siii! las tangentes también tienen sus propias leyes y sirven para lo mismo, para encontrar ya sea ángulos o lados de los triángulos oblicuángulos entonces ¿cómo podemos aplicarlo?

Fórmula para ley de tangentes

La fórmula para resolver ejercicios donde apliquemos ley de tangentes, es la siguiente:

$\displaystyle \frac{a-c}{a+c}=\frac{\tan \left( \frac{A-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \left( \frac{B-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \left( \frac{A-B}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+B}{2} \right)}$

tangentes triangulo

¿Qué nos dice la fórmula de la ley de tangentes?, el cociente entre la suma y resta de dos lados es igual a la razón entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lados, y la tangente de la semisuma de dichos ángulos.

Puede ser un poco confuso entender teóricamente lo que significa, pero veamos un ejemplo resuelto.

Ejemplos resueltos de la ley de tangentes

1.- En el triángulo ABC, c = 10 cm, A = 68° , C = 36°, Resuelve el triángulo

Solución: Si observamos, tenemos el siguiente triángulo:

tangentes 1

Si tenemos el lado c y el ángulo C podemos relacionarlo con otro lado y su ángulo opuesto, para esta ley no nos servirá de nada tener un lado que no conocemos y su ángulo opuesto que tampoco conocemos, necesitamos al menos un ángulo conocido y el lado opuesto o viceversa.

En este ejemplo tenemos el ángulo A, pero nos falta su lado, entonces ahí si podemos aplicar nuestra ley de tangentes, para ello, usaremos la fórmula:

$\displaystyle \frac{a-c}{a+c}=\frac{\tan \left( \frac{A-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+C}{2} \right)}$

y sustituimos nuestros datos:

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{\tan \left( \frac{68{}^\circ -36{}^\circ }{2} \right)}{\tan \left( \frac{68{}^\circ +36{}^\circ }{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{\tan (15{}^\circ )}{\tan (55{}^\circ )}$

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{0.2867}{1.2799}$

realizamos el cociente de los decimales de las tangentes.

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=0.2240$

Empezamos a despejar nuestra variable “a”

$\displaystyle a-10=0.2240(a+10)$

$\displaystyle a-10=0.2240a+2.240$

$\displaystyle a-0.2240a=2.240+10$

$\displaystyle 0.776a=12.240$

$\displaystyle a=\frac{12.240}{0.776}=15.77cm$

$\displaystyle a=15.77cm$

que sería nuestro lado a, ahora podemos calcular nuestro lado restante, con la misma ley. Pero para ello, hay que conocer el ángulo B, que podemos hallarlo muy fácil mediante lo siguiente:

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ$

$\displaystyle 68{}^\circ +\angle B+36{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle B=180{}^\circ -68{}^\circ -36{}^\circ$

$\displaystyle \angle B=76{}^\circ$

Por lo que tenemos el ángulo de B, ahora si podemos resolver mediante la ley, para encontrar el lado b

Podemos elegir el lado a y b, o podemos elegir la fórmula donde relaciona al lado c y b, eso queda a nuestra elección… Ya que podemos encontrar el lado de b, mediante las dos fórmulas:

$\displaystyle \frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \left( \frac{B-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \left( \frac{A-B}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+B}{2} \right)}$

En este caso, usaremos el lado a y b.

y empezamos a sustituir datos.

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=\frac{\tan \left( \frac{68{}^\circ -76{}^\circ }{2} \right)}{\tan \left( \frac{68{}^\circ +76{}^\circ }{2} \right)}$