Si ya aprendimos a derivar funciones, ahora es momento de ver las diversas aplicaciones que podemos utilizar, y los máximos y mínimos de una función son sin duda un ejemplo claro para que veamos la importancia del cálculo diferencial.
¿Qué es un Máximo y qué es un Mínimo?
Para entender que es un máximo y que es un mínimo, y las diversas interpretaciones que podemos encontrar en los libros de cálculo diferencial e integral, veamos la siguiente imagen.
Un Máximo Local es un punto de la función donde ésta cambia de creciente a decreciente, es decir, aquellos puntos altos de la gráfica.
Un Mínimo Local es un punto de la función donde ésta cambia de decreciente a creciente, es decir, aquellos puntos bajos de la gráfica.
Pasos para calcular el máximo y mínimo de una función
Para poder calcular el máximo y mínimo de una función tenemos que seguir los siguientes pasos.
- Se deriva la función y = f(x) y esta se iguala a cero.
- Se buscan las raíces de la ecuación resultante , dichos valores se llaman valores críticos y son los que hacen que la tangente tenga pendiente cero (horizontal), pueda darnos un máximo o un mínimo.
- Para saber si se trata de un máximo o mínimo, se toma un valor un poco menor al crítico y este se sustituye en la derivada, y se hace lo mismo para un valor mayor al crítico. Como resultado veremos lo siguiente; si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor crítico en análisis es de un máximo, si cambia de negativo a positivo, se trata de un mínimo, y si no cambia en ningún sentido, entonces se trata de un punto de inflexión.
Para entender mucho mejor este concepto, veamos el siguiente ejemplo.
Máximos y Mínimos – Ejercicios Resueltos
Ejemplo 1. Encuentre los valores máximos o mínimos de la función y = x²-4x+7
Solución:
Por cuestiones académicas vamos a graficar la función, solamente para que observes el resultado y lo que vamos a obtener aplicando los máximos y mínimos de la función.
Si analizamos la gráfica, vemos que solamente existe un mínimo, no hay máximos. ¿Pero como se hace con las derivadas? ¿cómo encuentro ese punto?, bien, vamos a ello 
Como resultado
Entonces podemos decir que:
x = 2
Sabemos que hay un máximo o un mínimo pero no sabemos donde, (aunque por la gráfica de arriba si sabemos donde está). Pero analíticamente aún lo desconocemos.
Paso 3: Vamos asignar un valor menor al valor crítico y lo vamos a sustituir en la derivada:> Eligiendo a x = 1 Porque es un valor menor al valor crítico.
Ok! Ahora haremos lo mismo, pero asignando un valor mayor.
> Eligiendo a x = 3 porque es un valor mayor al valor crítico.
Como la derivada cambió de signo negativo a signo positivo significa que existe un mínimo en el valor crítico que se analizó, es decir, existe un mínimo cuando x = 2
Comprobación:
Para comprobar, como ya sabemos que existe un mínimo en x = 2 , entonces vamos a sustituir a x = 2 en la función original, la que derivamos. De esta forma:
y = 3
Esto quiere decir que nuestro mínimo se encuentra en las coordenadas m(2,3) , si vemos la gráfica eso es cierto
Ejemplo 2. Encuentre los valores máximos o mínimos de la función y = x³- 6x² + 9x – 3
Solución:
Muchas veces los máximos y mínimos funcionan como herramientas para graficar una función de forma rápida, pero en este blog para términos académicos colocamos primero las gráficas, y después analizamos de forma analítica, con la intención de que el alumno aprenda los conceptos de forma entendible.
Entonces, graficamos la función:
Es lógico saber que nuestra función tiene tanto un máximo como un mínimo e incluso podemos apreciar las coordenadas. Pero nuevamente, ¿cómo las obtenemos de forma analítica?
Paso 1: Derivamos la función e igualamos a cero:
Como resultado de la derivada:
Si dividimos nuestra ecuación sobre 3, esto nos daría:
Esto es más fácil de factorizar.
Por lo tanto: x = 1 y x = 3 son valores críticos.
Paso 3: Vamos asignar un valor menor al valor crítico y lo vamos a sustituir en la derivada.Analizando el primer valor crítico x = 1
Valor menor –> x = 0
Valor mayor –> x = 2
Para el valor crítico x = 1 , observamos un cambio en la derivada de positivo a negativo, eso indica que existe un máximo cuando x = 1
Analizando el primer valor crítico x = 3
Valor menor: –> x = 2
Como ya sabemos el resultado para x = 2, porque lo hicimos en el paso anterior, colocamos el resultado:
Valor mayor –> x = 4
Para el valor crítico x = 3 , observamos un cambio en la derivada de negativo a positivo, eso indica que existe un mínimo cuando x = 3
Comprobación:
Para comprobar, como ya sabemos que existe un máximo en x = 1 , y un mínimo en x = 3, entonces vamos a sustituir a x = 1 y x = 3 en la función original. De esta forma:
Comprobando con x = 1
y = 1
Esto quiere decir que existe un máximo en las coordenadas m (1,1).
Comprobando con x = 3
y = 3
Esto quiere decir que existe un mínimo en las coordenadas m (3, -3)
Veamos ahora un ejemplo real de aplicación en Física.
Ejemplo 3. Un niño lanza una pelota al aire. La altura que alcanza en cualquier momento t viene dada por la función h = 3 +14t -5t²
Dónde
h = altura
t = tiempo
Solución:
Sabemos por el problema que la altura máxima lo alcanzará cuando la derivada de la función se iguale a cero, entonces derivamos e igualamos.
Derivando
Igualando a cero
Despejamos a “t”.
Esto quiere decir que cuando t = 1.4 segundos se alcanza la altura máxima. ¿Cómo sabemos a qué altura?, solamente tenemos que sustituir nuestro valor del tiempo en la función original. Tal como lo hicimos en los ejercicios anteriores.
Graficando el problema
Esto quiere decir que la altura máxima es de 12.8 metros a los 1.4 segundos
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