Límites Trigonométricos Indeterminados

Hoooola!, hoy hablaremos de un tema que se conoce como límites, pero no nos enfocaremos en su definición, ni en su explicación informal con épsilon-delta, sino que hablaremos de la parte algebraica, y trigonométrica para poder hacer artificios matemáticos (no magia), que nos ayuden a resolver problemas de indeterminación, y eso es muy importante, ya que si un límite se nos indetermina tenemos que buscar la solución.

Así que antes de comenzar, te voy a sugerir que descargues la siguiente lista de identidades trigonométricas que hemos hecho con cariño para ti

Eso no es todo, también es necesario tener en cuenta los límites notables, y saber en que momento aplicarlos, para ello colocaré los que más se usan, si conoces más, es porque muchos se deducen de los aquí propuestos.

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{senx}{x}=1$
$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{x}=0$
$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}=e$
$\displaystyle \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+t \right)}^{\frac{1}{t}}}=e$
$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{kx}}-1}{x}=k$
$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{kx}}-1}{x}=k\ln a$
$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{1+x}{x} \right)=1$

Si ya has descargado el material, y tienes en cuenta los límites notables entonces es momento de ver unos ejemplos resueltos:

Ejemplo de Límites Indeterminados 0/0

Resolver

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{\cos x-1}$

Solución:

Como el tema que estamos viendo es sobre indeterminación de la forma 0/0, es lógico que al evaluar obtengamos la indeterminación, así que lo primero que haremos es pensar un poco en lo que tenemos y tener en cuenta que si tenemos:

$\displaystyle \cos x-1$

Lo más accesible, es recurrir a su complemento para formar una diferencia de cuadrados en el denominador pues es más fácil llegar así a un límite notable, entonces hacemos lo siguiente:

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{\cos x-1}\cdot \frac{\cos x+1}{\cos x+1}$

Haciendo la operación, tenemos.

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{\cos x-1}\cdot \frac{\cos x+1}{\cos x+1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}{{{\cos }^{2}}-1}$

De la identidad pitagórica nosotros observamos que:

$\displaystyle se{{n}^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$

Despejando a seno cuadrado de x.

$\displaystyle se{{n}^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x$

Pero esto no se parece a lo que obtuvimos en el denominador de nuestro límite, peeeeero hay una solución y eso es factorizar el signo para que el límite nos quede de la siguiente forma:

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}{-\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}$

Ahora hacemos el cambio por seno cuadrado de x.

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}{-\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}{-se{{n}^{2}}x}=-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}{se{{n}^{2}}x}$

Por los límites notables, sabemos que:

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{senx}{x}=1$

Aplicamos entonces la división de nuestro límite por $\displaystyle {{x}^{2}}$

$\displaystyle -\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}{{{x}^{2}}}}{\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}}}=-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x+1}{\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}}}$

Y esto lo podemos aplicar de la siguiente forma:

$\displaystyle -\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \cos x+1 \right)}{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}}}=-\frac{2}{1}=-2$

Por lo que la respuesta de nuestro límite es -2.

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{\cos x-1}=-2$

Resolver

2. $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sec x}{{{x}^{2}}\sec x}$

Solución:

Cómo sabemos que la inversa de el coseno es la secante, y como se trata de cero, entonces nos dará 1 de la misma forma, por lo que el límite nuevamente se indetermina, como era de esperarse, ahora para poder darle solución a este haremos lo siguiente. “Cambiar todo a Cosenos”.

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sec x}{{{x}^{2}}\sec x}=\frac{1-\frac{1}{\cos x}}{{{x}^{2}}\frac{1}{\cos x}}$

y haremos la resta de fracciones del numerador:

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sec x}{{{x}^{2}}\sec x}=\frac{1-\frac{1}{\cos x}}{{{x}^{2}}\frac{1}{\cos x}}=\frac{\frac{\cos x-1}{\cos x}}{\frac{{{x}^{2}}}{\cos x}}$

Aplicando la ley de la torta-herradura

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sec x}{{{x}^{2}}\sec x}=\frac{1-\frac{1}{\cos x}}{{{x}^{2}}\frac{1}{\cos x}}=\frac{\frac{\cos x-1}{\cos x}}{\frac{{{x}^{2}}}{\cos x}}=\frac{\cos x(\cos x-1)}{\cos x\cdot {{x}^{2}}}$

Simplificando

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x(\cos x-1)}{\cos x\cdot {{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{{{x}^{2}}}$

Y este límite va obteniendo una forma similar al del ejemplo 1, y al multiplicarlo por su conjugado obtenemos lo siguiente:

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{{{x}^{2}}}\cdot \frac{\cos x+1}{\cos x+1}=\frac{{{\cos }^{2}}x-1}{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}$

Fácilmente hacemos el cambio por la identidad pitagórica

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}$

Luego hacemos…

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}\left( \cos x+1 \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\cos x+1}$

Y evaluamos

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\cos x+1}=(1)\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\cos x+1}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Esto quiere decir que nuestro límite es 1/2

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sec x}{{{x}^{2}}\sec x}=\frac{1}{2}$

Resolver

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{3{{x}^{3}}{{\csc }^{2}}x}$

Solución:

Al plantearse el problema anterior, y sabiendo que podemos pasar la función cosecante a seno, tenemos entonces:

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{3{{x}^{3}}{{\csc }^{2}}x}=\frac{\cos x-1}{3{{x}^{3}}\cdot \frac{1}{se{{n}^{2}}x}}=\frac{\cos x-1}{\frac{3{{x}^{3}}}{se{{n}^{2}}x}}$

Ahora aplicamos la ley de la torta

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{\frac{3{{x}^{3}}}{se{{n}^{2}}x}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x\left( \cos x-1 \right)}{3{{x}^{3}}}$

Podemos hacer que la x que está al cubo, se haga como el producto de x al cuadrado por x, y obtenemos

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{\frac{3{{x}^{3}}}{se{{n}^{2}}x}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x\left( \cos x-1 \right)}{3{{x}^{2}}\cdot x}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{se{{n}^{2}}x}{{{x}^{2}}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{x}$

Pero de aquí podemos observar lo siguiente

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\left( 1-\cos x \right)}{x}=-\left( 0 \right)=0$