Antes de comenzar este artículo es importante que el alumno/a esté familiarizado con el tema de la elipse con centro en el origen, puesto que desde ese tema se tocarán los mismos elementos de la elipse y solamente comprenderemos las nuevas ecuaciones para una elipse con centro fuera del origen.
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Ecuación y Elementos de la Elipse
Ecuación y Elementos de la Elipse Tres de los elementos más importantes de la elipse tendrán una fórmula diferente a las de una elipse con centro en el origen, principalmente el vértice, los focos y los extremos del eje menor. Veamos 
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Elipse Horizontal con centro en (h,k)
La ecuación particular de dicha elipse es la siguiente:
Si el eje focal es horizontal.
Elementos
1⃣ Vértice:
2⃣ Focos:
3⃣ Extremos del eje menor “B”:
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Elipse Vertical con centro en (h,k)
La ecuación particular de dicha elipse es la siguiente:
Si el eje focal es vertical en donde debe cumplirse que a > b
Elementos
1⃣ Vértice:
2⃣ Focos:
3⃣ Extremos del eje menor “B”:
Ecuación general de la Elipse:
La ecuación general de la elipse es la siguiente:
Con A ≠ C , y ambas cantidades de igual signo.
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Ejercicios Resueltos de la Ecuación de la Elipse con Centro fuera del Origen
Comencemos a resolver algunos ejemplos de la ecuación de la elipse. Veamos:
Ejemplo 1. Determine los elementos de una elipse con ecuación general de 4x² + 9y² -16x +18y -11 = 0
Solución:
En este primer paso, vamos agrupar en el lado izquierdo de la igualdad a los términos que contengan las mismas variables y del miembro derecho se colocan las constantes. De esta forma:
Ahora vamos a factorizar en cada grupo el coeficiente del término cuadrado:
Se completa el trinomio al cuadrado perfecta en cada grupo, recordar que se agrega el mismo valor en el miembro derecho.
De aquí obtenemos:
Se agregó 16 en el lado derecho porque el resultado se multiplica por el 4 fuera del paréntesis, lo mismo ocurre con el otro grupo, se agregó un 9 al lado derecho porque al multiplicar el 9 por 1 obtenemos como resultado 9.
Factorizando lo de los paréntesis, obtenemos:
Se dividen ambos lados de la igualdad por 36 y se simplifica.
Obtenemos lo siguiente:
Dónde:
Al ser el denominador mayor “9” que está justo debajo de “x”, entonces decimos que se trata de una elipse horizontal.
También podemos apreciar que:
a = 3
b = 2
Y para obtener c , se puede obtener de la siguiente manera:
c ≈ 2.23
De aquí podemos deducir los elementos de dicha elipse:
1⃣ Obteniendo el Centro:
De la ecuación (x – h) tenemos (x – 2), por lo que
h = 2
De la ecuación (y – k) tenemos (y+1), por lo que
k = -1
Finalmente, el centro posee coordenadas:
C(2, -1)
2⃣ Obteniendo el lado recto
Sustituyendo los valores:
3⃣ Obteniendo la excentricidad
4⃣ Obteniendo el Vértice
El vértice para una elipse horizontal, tiene la fórmula:
Entonces, las dos coordenadas para los vértices son:
5⃣ Obteniendo los Focos
Los focos para una elipse horizontal, tiene la fórmula:
Entonces, las dos coordenadas para los focos son:
6⃣ Obteniendo los extremos del eje menor
Los extremos del eje menor, tiene la fórmula:
Entonces, las dos coordenadas para los extremos del eje menor son:
7⃣ Gráfica de la Parábola
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