Ecuación de la Recta en su forma simétrica

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Hoy veremos un nuevo tema de nuestros artículos sobre geometría analítica, y se trata sobre el tema de la ecuación de la recta en su forma simétrica o canónica, pues bien, hasta este punto de nuestras publicaciones de ejercicios y problemas de la recta, hemos estudiado tres formas, las cuales se mencionan a continuación:

Ahora toca el caso para el último caso que estudiaremos en el blog, y se trata sobre la ecuación simétrica o canónica de la recta.

Obtención de la fórmula de la ecuación de la Recta en su forma simétrica

La fórmula es la siguiente:

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¿Cómo la obtenemos?Image may be NSFW.
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Para obtener la fórmula de la recta, veamos la siguiente gráfica. Donde tenemos una recta “L” que intersecta a los ejes “x” y “y” en los puntos A (a,0) y B (0,b), respectivamente. Tal como se ilustra en la gráfica:

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Las coordenadas que tenemos, son las siguientes:

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Clik here to view. $\displaystyle {{x}_{1}}=a$

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Clik here to view. $\displaystyle {{y}_{1}}=0$

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Clik here to view. $\displaystyle {{x}_{2}}=0$

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Clik here to view. $\displaystyle {{y}_{2}}=b$

Si deseamos encontrar la pendiente de la recta, tenemos que utilizar la fórmula de la pendiente.

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Clik here to view. $\displaystyle m=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}$

Al sustituir en nuestros datos en la fórmula:

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Clik here to view. $\displaystyle m=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{0-b}{a-0}=-\frac{b}{a}$

Es decir:

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Clik here to view. $\displaystyle m=-\frac{b}{a}$

Ahora procedemos a utilizar la fórmula de la ecuación punto – pendiente:

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Clik here to view. $\displaystyle y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

Sustituimos nuestros datos en dicha fórmula:

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Clik here to view. $\displaystyle y-0=-\frac{b}{a}(x-a)$

Simplificando . . .

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Clik here to view. $\displaystyle y=-\frac{bx}{a}+b$

Multiplicando toda la ecuación por “a”, obtenemos:

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Clik here to view. $\displaystyle a\left( y \right)=a\left( -\frac{bx}{a}+b \right)$

Obtenemos

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Clik here to view. $\displaystyle ay=-bx+ab$

Vamos a dividir la ecuación por “ab”:

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{ay}{ab}=\frac{-bx+ab}{ab}$

Obtenemos

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{y}{b}=-\frac{x}{a}+1$

Despejando a la unidad, es decir a “1” . Nos queda:

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{y}{b}+\frac{x}{a}=1$

Ordenando, finalmente tenemos:

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

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Clik here to view. Finalmente encontramos la ecuación que también se le conoce como reducida o de abscisa.

Ejercicios Resueltos sobre la forma simétrica de la ecuación de la Recta

Veamos algunos ejemplos resueltos.

Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de la recta, cuyas intersecciones con los ejes son los puntos A (3, 0) y B (0, – 4).

Solución:

Al ver los datos del problema, podemos decir que: a = 3, y b = -4 . Entonces solamente tenemos que sustituir estos datos en nuestra fórmula.

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Sustituyendo

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{-4}=1$

El – 4 debajo de “y”, hará que se vuelva negativa.

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1$

Para eliminar a los denominadores que tenemos, podemos multiplicar toda la ecuación por 12.

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Clik here to view. $\displaystyle 12\left( \frac{x}{3}-\frac{y}{4} \right)=12\left( 1 \right)$

Esto nos dará:

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Clik here to view. $\displaystyle 4x-3y=12$

Una vez simplificada la ecuación. Vamos a igualar a cero.

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Clik here to view. Resultado:

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Clik here to view. $\displaystyle 4x-3y-12=0$

Gráficamente la ecuación de la recta, es la siguiente:

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Ejemplo 2. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son (-2) y (6) respectivamente. Hallar su ecuación

Solución:

Al sustituir los datos que tenemos, sabemos que a = -2 y b = 6 ; por lo que:

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Sustituyendo

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{-2}+\frac{y}{6}=1$

Qué es igual a :

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Clik here to view. $\displaystyle -\frac{x}{2}+\frac{y}{6}=1$

Multiplicando por 12 a toda la ecuación tenemos que:

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Clik here to view. $\displaystyle 12\left( -\frac{x}{2}+\frac{y}{6} \right)=12\left( 1 \right)$

Por lo que:

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Clik here to view. $\displaystyle -6x+2y=12$

Igualando la ecuación a cero:

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Clik here to view. Resultado:

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Clik here to view. $\displaystyle 6x-2y+12=0$

Dicha ecuación, la podemos observar gráficamente de la siguiente manera:

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Clik here to view. Ecuación de la Recta en su forma simétrica

Ejemplo 3. Determina la ecuación general de la recta, cuyas intersecciones con los ejes son los puntos A (-4, 0) y B (0, 8).

Solución:

Los datos que tenemos son los siguientes, para a = -4 y b = 8. Con estos datos podemos resolver nuestro ejemplo sin dificultades.

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Sustituyendo en la fórmula:

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Clik here to view. $\displaystyle \frac{x}{-4}+\frac{y}{8}=1$

Dicho de otra forma, esto es:

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Clik here to view. $\displaystyle -\frac{x}{4}+\frac{y}{8}=1$

Podemos multiplicar toda la ecuación por 8, y esto simplificará nuestros cálculos.

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Clik here to view. $\displaystyle 8\left( -\frac{x}{4}+\frac{y}{8} \right)=8\left( 1 \right)$

Obtenemos:

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Clik here to view. $\displaystyle -2x+y=8$

Igualando a cero:

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Clik here to view. $\displaystyle 8+2x-y=0$

Ordenando.

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Clik here to view. Resultado:

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Clik here to view. $\displaystyle 2x-y+8=0$

De forma gráfica, esto es:

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Clik here to view. Forma simétrica de la recta

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Ecuación de la Recta en su forma simétrica

Obtención de la fórmula de la ecuación de la Recta en su forma simétrica

Ejercicios Resueltos sobre la forma simétrica de la ecuación de la Recta

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