Ecuación de la Recta en su forma simétrica

Hoy veremos un nuevo tema de nuestros artículos sobre geometría analítica, y se trata sobre el tema de la ecuación de la recta en su forma simétrica o canónica, pues bien, hasta este punto de nuestras publicaciones de ejercicios y problemas de la recta, hemos estudiado tres formas, las cuales se mencionan a continuación:

1. Ecuación de la Recta en su forma Punto – Pendiente
2. Ecuación de la Recta dado dos Puntos
3. Ecuación de la Recta Pendiente – Ordenada al Origen

Ahora toca el caso para el último caso que estudiaremos en el blog, y se trata sobre la ecuación simétrica o canónica de la recta.

Obtención de la fórmula de la ecuación de la Recta en su forma simétrica

La fórmula es la siguiente:

¿Cómo la obtenemos?

Para obtener la fórmula de la recta, veamos la siguiente gráfica. Donde tenemos una recta “L” que intersecta a los ejes “x” y “y” en los puntos A (a,0) y B (0,b), respectivamente. Tal como se ilustra en la gráfica:

Las coordenadas que tenemos, son las siguientes:

Si deseamos encontrar la pendiente de la recta, tenemos que utilizar la fórmula de la pendiente.

Al sustituir en nuestros datos en la fórmula:

Es decir:

Ahora procedemos a utilizar la fórmula de la ecuación punto – pendiente:

Sustituimos nuestros datos en dicha fórmula:

Simplificando . . .

Multiplicando toda la ecuación por “a”, obtenemos:

Obtenemos

Vamos a dividir la ecuación por “ab”:

Obtenemos

Despejando a la unidad, es decir a “1” . Nos queda:

Ordenando, finalmente tenemos:

Finalmente encontramos la ecuación que también se le conoce como reducida o de abscisa.

Ejercicios Resueltos sobre la forma simétrica de la ecuación de la Recta

Veamos algunos ejemplos resueltos.

Solución:

Al ver los datos del problema, podemos decir que: a = 3, y b = -4 . Entonces solamente tenemos que sustituir estos datos en nuestra fórmula.

Sustituyendo

El – 4 debajo de “y”, hará que se vuelva negativa.

Para eliminar a los denominadores que tenemos, podemos multiplicar toda la ecuación por 12.

Esto nos dará:

Una vez simplificada la ecuación. Vamos a igualar a cero.

 Resultado:

Gráficamente la ecuación de la recta, es la siguiente:

Solución:

Al sustituir los datos que tenemos, sabemos que a = -2 y b = 6 ; por lo que:

Sustituyendo

Qué es igual a :

Multiplicando por 12 a toda la ecuación tenemos que:

Por lo que:

Igualando la ecuación a cero:

 Resultado:

Dicha ecuación, la podemos observar gráficamente de la siguiente manera:

Solución:

Los datos que tenemos son los siguientes, para a = -4 y b = 8. Con estos datos podemos resolver nuestro ejemplo sin dificultades.

Sustituyendo en la fórmula:

Dicho de otra forma, esto es:

Podemos multiplicar toda la ecuación por 8, y esto simplificará nuestros cálculos.

Obtenemos:

Igualando a cero:

Ordenando.

 Resultado:

De forma gráfica, esto es:

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